Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
Замечание 9.1. Степень n интерполяционных многочленов p
i, n
считается
фиксированной и не зависящей от i , а роль параметра, за счёт которого
повышается точность приближения , играет число отрезков разбиения N. При n = 1
локальный интерполянт есть ломаная с вершинами в точках (x
i
,f(x
i
)) ( рис . 9.2 ),
при n = 2 графики многочленов p
i, 2
на частичных отрезках разбиения –
параболы ( рис . 9.3 ) , и так далее.
Теорема 9.2. Для любой функции f класса C
n+1
[a,b] последовательность
p
n
N
локальных интерполянтов сходится при N → ∞ к приближаемой функции f
равномерно на отрезке [a,b], т.е. в метрике (7.4) пространства C[a,b].
Доказательство . Функция f
(n+1)
непрерывна, а потому её максимум на
отрезке [a,b] конечен. Пользуясь вытекающим из (4.1) соотношением
получим неравенство
или, если обозначить через C
n
независящую от N, i, x постоянную
неравенство
Поскольку точки x , x
i , k
принадлежат отрезку [x
i – 1
,x
i
] длины h=(b-a)/N,
для любого k имеем : | x – x
i
, k
| ≤ h . Поэтому
а это ввиду независимости правой части от i и x даёт:
Переходя здесь к пределу при N → ∞ , получим нужный результат
,]x,x[)x(,x,)xx(
!)1n(
))x((f
)x(p)x(f
i1i
n
0k
k,i
)1n(
n,i −
=
+
∈ξ−
+
ξ
=−
∏
,]x,x[x,)xx(max)x(fmax
!)1n(
1
)x(p)x(f
i1ik,i
bxa
)1n(
bxa
n,i −
≤≤
+
≤≤
∈−
+
≤−
∏
,)x(fmax
!)1n(
1
C
)1n(
bxa
n
+
≤≤
+
=
.xxx,)xx(maxC)x(p)x(f
i1ik,i
bxa
nn,i
≤≤−≤−
−
≤≤
∏
,xxx,N/)ab(C)x(p)x(f
i1i
1n1n
nn,i
≤≤−≤−
−
++
)2.9(.N/)ab(C)x(p)x(fmaxpf
1n1n
n
N
n
bxa
N
n
++
≤≤
−≤−=−
      Замечание 9.1. Степень n интерполяционных многочленов pi, n считается
фиксированной и не зависящей от i , а роль параметра, за счёт которого
повышается точность приближения, играет число отрезков разбиения N. При n = 1
локальный интерполянт есть ломаная с вершинами в точках (xi,f(xi)) ( рис. 9.2 ),
при n = 2 графики многочленов pi, 2 на частичных отрезках разбиения –
параболы ( рис. 9.3 ) , и так далее.
      Теорема 9.2. Для любой функции f класса Cn+1[a,b] последовательность
pnN локальных интерполянтов сходится при N → ∞ к приближаемой функции f
равномерно на отрезке [a,b], т.е. в метрике (7.4) пространства C[a,b].
      Доказательство. Функция �f (n+1)� непрерывна, а потому её максимум на
отрезке [a,b] конечен. Пользуясь вытекающим из (4.1) соотношением

                                            f ( n +1) ( ξ( x ) )    n
         f ( x ) −p i , n ( x )       =
                                                ( n +1)!
                                                                   ∏ ( x −x
                                                                   k =0
                                                                                    i,k   )   ,             x , ξ( x ) ∈[x i −1, x i ] ,


получим неравенство


                             1
 f ( x) −p i, n ( x) ≤               max f ( n +1) ( x)
                         ( n +1) ! a ≤ x ≤ b
                                                                        max
                                                                    a ≤ x ≤b
                                                                                    ∏ ( x −x      i,k   )       , x ∈[ x i −1 , x i ] ,



или, если обозначить через Cn независящую от N, i, x постоянную
                                               1
                                  Cn =                max f ( n +1) ( x)                  ,
                                            ( n+1) ! ≤x ≤b
                                                    a



неравенство

             f ( x) −p i , n ( x) ≤ Cn max
                                                  a ≤x ≤b
                                                             ∏ ( x −x     i,k   )     ,       x i −1 ≤x ≤x i .


     Поскольку точки x , xi , k принадлежат отрезку [xi – 1 ,xi ] длины h=(b-a)/N,
для любого k имеем: | x – x i , k | ≤h . Поэтому

               f ( x) −p i, n ( x) ≤Cn (b −a) n +1 / Nn +1 ,                              x i −1 ≤x ≤x i ,

а это ввиду независимости правой части от i и x даёт:

             f −pnN        = max f ( x ) −pnN ( x ) ≤ C n ( b −a ) n +1 / N n +1 .                                                 ( 9.2 )
                                  a ≤x ≤b



       Переходя здесь к пределу при N → ∞ , получим нужный результат
                                                                                                                                       31

Страницы