Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 29 стр.

отсутствие поточечной сходимости может наблюдаться для достаточно простых
функций:
      Теорема 8.5 ( Бернштейн ). Значение многочлена pn , интерполирующего
функцию f(x) = | x | на отрезке [-1,1] по набору равноотстоящих узлов

                    xk = - 1 + 2(k/n)                       k = 0,1, ... ,n ,   (8.8)

ни при каких x , за исключением точек -1, 0, 1 , не сходится при n→ ∞ к
значению интерполируемой функции.
       Замечание 8.6. Причина, по которой процесс глобальной интерполяции
оказывается расходящимся на классе C[a,b] – неограниченное при n→ ∞
возрастание нормы оператора интерполяции Ln . Особенно быстрым этот рост
является при равноотстоящих узлах интерполяции; не случайно, что впервые
расходимость процесса глобальной интерполяции была обнаружена( Рунге, 1901
г. ) именно для набора узлов (8.8).
       Замечание 8.7. При выборе в качестве узлов интерполяции чебышевских
узлов рост норм операторов интерполяции Ln оказывается не слишком быстрым
и совпадает по порядку с ростом правой части неравенства (8.7). Хотя в силу
теоремы Фабера и при таких узлах интерполяции имеются функции f , для
которых последовательность интерполяционных полиномов pn при n→ ∞ не
сходится к f в равномерной метрике (7.4), класс функций, для которых такая
сходимость всё-таки имеет место, оказывается весьма обширным и включает в
себя множество C1[a,b] всех непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций.
       Замечание 8.8. На практике процесс интерполяции осложняется наличием
погрешностей округлений при вычислении значений интерполируемой функции в
узлах интерполяции и погрешностей округлений при выполнении
арифметических операций в процессе вычисления значений интерполяционного
многочлена. В частности, если значения f(xk) в формуле Лагранжа

                                                ∏ ( x −x       i   )
                    pn ( x ; f ) =∑ f ( x k )
                                                 i ≠k

                                                ∏ (x
                                                i ≠k
                                                        k   −x i )



заданы приближённо, то полученный интерполяционный многочлен можно
рассматривать как интерполяционный многочлен для несколько иной функции f∗.
     Вычитание равенств

          pn∗ = Ln( f∗ )     ,        pn = Ln( f )

в силу линейности оператора Ln даёт

                 pn∗ - pn = Ln( f∗ -f ) .


                                                                                  29