Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 33 стр.

UptoLike

Составители: 

33
Отсюда, учитывая независимость || f ||
C [ a , b ]
от i , получим
А так как левый член этого неравенства есть норма локального интерполянта
p
n
N
(f) = L
n
N
(f) в пространстве C[a,b], имеем неравенство
а значит ( ввиду произвольности f ) , и неравенство
Остаётся доказать независимость правой части от N.
Введём «целочисленную» переменную t с помощью формулы
t = ( x x
i 1
) / ( h / n ) , x
i 1
x x
i
,
которая определяет линейное взаимно однозначное отображение отрезка [x
i 1
, x
i
]
оси t на отрезок [0 , n] оси t . В силу равенства
x = x
i 1
+ ( h / n ) t
и формулы (9.1) имеем
x x
i , j
= x
i 1
+ ( h / n ) t x
i 1
( j / n ) h = ( h / n ) ( t j ) ,
x
i , k
x
i , j
= x
i 1
+ ( k / n ) h x
i 1
( j / n ) h = ( h / n ) ( k j ) ,
откуда для величины (9.4) получаем представление
Поскольку под знаком максимума здесь стоит конкретная непрерывная на
отрезке [0 , n] функция , этот максимум конечен и не зависит ни от i , ни от N .
.f)x(fmax)x(fmax
fL)f(L)x(pmax
]b,a[C
n,i
bxa
n,i
xxx
n,i
]x,x[C
]x,x[C
n,i
]x,x[C
n,in,i
xxx
i1i
i1i
i1ii1i
i1i
λ=λλ=
=≤=
≤≤
≤≤
−−
.f)max()x(pmaxmax
]b,a[C
n,i
i
n,i
xxxi
i1i
λ≤
≤≤
,maxf/)f(L
n,i
i
]b,a[C
]b,a[C
N
n
λ≤
)5.9(.maxL
n,i
i
]b,a[C
N
n
λ≤
)6.9(.
)jk(
)jt(
max
n
0k
kj
kj
nt0
n,i
=
≤≤
             max                pi , n (x) = Li , n (f )                                      ≤ Li , n                              f    C[ x i −1 , x i ]
                                                                                                                                                               =
         x i −1 ≤x ≤x i                                                  C[ x i −1 , x i ]                      C[ x i −1 , x i ]

            = λi , n              max             f (x) ≤ λi , n max f (x) =λi , n f                                                C[ a , b ]
                                                                                                                                                  .
                            x i −1 ≤x ≤x i                                         a ≤x ≤b


Отсюда, учитывая независимость || f || C [ a , b ] от i , получим

                   max max                        p i , n ( x) ≤( maxλi , n ) f                             C[ a , b ]
                                                                                                                          .
                     i           x i −1 ≤x ≤x i                                  i



А так как левый член этого неравенства есть норма локального интерполянта
pnN(f) = LnN(f) в пространстве C[a,b], имеем неравенство

                                              LnN ( f )                  / f         C[ a , b ]
                                                                                                  ≤ max λ i , n ,
                                                            C[ a , b ]                                  i


а значит ( ввиду произвольности f ) , и неравенство
                                                          LnN                      ≤ max λ i , n .                                                           (9. 5)
                                                                    C[ a , b ]               i

      Остаётся доказать независимость правой части от N.
      Введём «целочисленную» переменную t с помощью формулы

                          t = ( x– xi–1 ) / ( h / n )                                   ,            x i – 1 ≤x ≤x i                      ,

которая определяет линейное взаимно однозначное отображение отрезка [x i – 1, x i]
оси t на отрезок [0 , n] оси t . В силу равенства

                                                  x = xi – 1 + ( h / n ) t

и формулы (9.1) имеем

              x–x         i,j   = x i – 1 + ( h / n ) t – x i –1 – ( j / n ) h = ( h / n ) ( t – j ) ,

          xi,k – xi,j = xi–1 + ( k / n ) h – xi–1 – ( j / n ) h = ( h / n ) ( k – j ) ,

откуда для величины (9.4) получаем представление

                                                                n           ∏ ( t −j)
                                                              ∑
                                                                            j ≠k
                                    λi , n = max                                                    .                                                        (9.6)
                                                  0 ≤t ≤n
                                                             k =0           ∏ (k −j)
                                                                            j ≠k

      Поскольку под знаком максимума здесь стоит конкретная непрерывная на
отрезке [0 , n] функция, этот максимум конечен и не зависит ни от i , ни от N .


                                                                                                                                                                 33