ВУЗ:
Составители:
33
Отсюда, учитывая независимость || f ||
C [ a , b ]
от i , получим
А так как левый член этого неравенства есть норма локального интерполянта
p
n
N
(f) = L
n
N
(f) в пространстве C[a,b], имеем неравенство
а значит ( ввиду произвольности f ) , и неравенство
Остаётся доказать независимость правой части от N.
Введём «целочисленную» переменную t с помощью формулы
t = ( x – x
i – 1
) / ( h / n ) , x
i – 1
≤ x ≤ x
i
,
которая определяет линейное взаимно однозначное отображение отрезка [x
i – 1
, x
i
]
оси t на отрезок [0 , n] оси t . В силу равенства
x = x
i – 1
+ ( h / n ) t
и формулы (9.1) имеем
x – x
i , j
= x
i – 1
+ ( h / n ) t – x
i –1
– ( j / n ) h = ( h / n ) ( t – j ) ,
x
i , k
– x
i , j
= x
i – 1
+ ( k / n ) h – x
i – 1
– ( j / n ) h = ( h / n ) ( k – j ) ,
откуда для величины (9.4) получаем представление
Поскольку под знаком максимума здесь стоит конкретная непрерывная на
отрезке [0 , n] функция , этот максимум конечен и не зависит ни от i , ни от N .
.f)x(fmax)x(fmax
fL)f(L)x(pmax
]b,a[C
n,i
bxa
n,i
xxx
n,i
]x,x[C
]x,x[C
n,i
]x,x[C
n,in,i
xxx
i1i
i1i
i1ii1i
i1i
λ=λ≤λ=
=≤=
≤≤≤≤
≤≤
−
−
−−
−
.f)max()x(pmaxmax
]b,a[C
n,i
i
n,i
xxxi
i1i
λ≤
≤≤
−
,maxf/)f(L
n,i
i
]b,a[C
]b,a[C
N
n
λ≤
)5.9(.maxL
n,i
i
]b,a[C
N
n
λ≤
)6.9(.
)jk(
)jt(
max
n
0k
kj
kj
nt0
n,i
∑
∏
∏
=
≠
≠
≤≤
−
−
=λ
max pi , n (x) = Li , n (f ) ≤ Li , n f C[ x i −1 , x i ]
=
x i −1 ≤x ≤x i C[ x i −1 , x i ] C[ x i −1 , x i ]
= λi , n max f (x) ≤ λi , n max f (x) =λi , n f C[ a , b ]
.
x i −1 ≤x ≤x i a ≤x ≤b
Отсюда, учитывая независимость || f || C [ a , b ] от i , получим
max max p i , n ( x) ≤( maxλi , n ) f C[ a , b ]
.
i x i −1 ≤x ≤x i i
А так как левый член этого неравенства есть норма локального интерполянта
pnN(f) = LnN(f) в пространстве C[a,b], имеем неравенство
LnN ( f ) / f C[ a , b ]
≤ max λ i , n ,
C[ a , b ] i
а значит ( ввиду произвольности f ) , и неравенство
LnN ≤ max λ i , n . (9. 5)
C[ a , b ] i
Остаётся доказать независимость правой части от N.
Введём «целочисленную» переменную t с помощью формулы
t = ( x– xi–1 ) / ( h / n ) , x i – 1 ≤x ≤x i ,
которая определяет линейное взаимно однозначное отображение отрезка [x i – 1, x i]
оси t на отрезок [0 , n] оси t . В силу равенства
x = xi – 1 + ( h / n ) t
и формулы (9.1) имеем
x–x i,j = x i – 1 + ( h / n ) t – x i –1 – ( j / n ) h = ( h / n ) ( t – j ) ,
xi,k – xi,j = xi–1 + ( k / n ) h – xi–1 – ( j / n ) h = ( h / n ) ( k – j ) ,
откуда для величины (9.4) получаем представление
n ∏ ( t −j)
∑
j ≠k
λi , n = max . (9.6)
0 ≤t ≤n
k =0 ∏ (k −j)
j ≠k
Поскольку под знаком максимума здесь стоит конкретная непрерывная на
отрезке [0 , n] функция, этот максимум конечен и не зависит ни от i , ни от N .
33
