Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
Упражнение 6. Найти оптимальный набор {x
0
, x
1
} узлов интерполяции на
классе функций C
1
2
[0,1] и вычислить погрешность интерполяции на этом классе
при оптимальном выборе узлов.
Упражнение 7. Найти норму оператора L
1
линейного интерполирования в
пространстве C[0,1] , считая узлы интерполяции совпадающими с концами
отрезка.
Задача 8. В качестве узлов интерполяции на отрезке [0,1] выбраны точки 0,
c, 1. Найти норму оператора интерполирования L
2
в пространстве C[0,1] как
функцию параметра c и определить значение c , при котором норма
минимальна.
Задача 9. При каких N локальный интерполянт L
1
N
гарантированно
приближает функцию e
x
на отрезке [0,1] с погрешностью , не превосходящей
10
-4
?
Задание 10. Исследовать с помощью компьютера поведение глобального
интерполянта p
n
функции
f(x) = 1 / ( 1 + k
2
x
2
) , -1 ≤ x ≤ 1 ,
для случаев к = 1,5,10,15. Использовать для интерполяции: а) набор
равноотстоящих узлов с x
0
= -1, x
n
= 1; б) набор чебышевских узлов на отрезке
[-1,1].
Задание 11. Провести аналогичное исследование для функции
f(x) = | x | , -1 ≤ x ≤ 1 .
Задание 12. Составить программу вычисления значений локального
интерполянта L
n
N
для заданной на отрезке [a,b] функции f. Исследовать с
помощью этой программы поведение локальных интерполянтов L
1
N
, L
2
N
, L
3
N
функции f(x) = 1 / ( 1 + 25 x
2
) , -1 ≤ x ≤ 1 при изменении N. Найти
экспериментально значения N(n) , n = 1,2,3 , при которых погрешность
локальных интерполянтов L
n
N
указанной функции на отрезке [-1,1] становится
меньше 10
-3
.
11
0
. Литература.
1. Люстерник Л . А ., Соболев В . И . Элементы функционального анализа. М .:
Наука. Главная редакция физ .-мат . литературы , 1965.- 520 с.
2. Натансон И .П. Конструктивная теория функций . М .-Л .: Гостехиздат ,
1949.- 688с.
3. Форсайт Дж., Малькольм М ., Моулер К . Машинные методы
математических вычислений . М .: Мир, 1980.-280 с.
4. Крылов В .И ., Бобков В .В ., Монастырный П.И. Вычислительные методы
высшей математики. Т .1. Мн.: Вышэйш . Школа, 1972.-584 с.
5. Волков Е .А . Численные методы . М .: Наука. Главная редакция физ .-мат .
литературы , 1982.-256 с. 
       Упражнение 6. Найти оптимальный набор {x0, x1} узлов интерполяции на
классе функций C12 [0,1] и вычислить погрешность интерполяции на этом классе
при оптимальном выборе узлов.
       Упражнение 7. Найти норму оператора L1 линейного интерполирования в
пространстве C[0,1] , считая узлы интерполяции совпадающими с концами
отрезка.
       Задача 8. В качестве узлов интерполяции на отрезке [0,1] выбраны точки 0,
c, 1. Найти норму оператора интерполирования L2 в пространстве C[0,1] как
функцию параметра c и определить значение c , при котором норма
минимальна.
       Задача 9. При каких N локальный интерполянт L1N гарантированно
приближает функцию ex на отрезке [0,1] с погрешностью, не превосходящей
10-4 ?
       Задание 10. Исследовать с помощью компьютера поведение глобального
интерполянта pn функции

                        f(x) = 1 / ( 1 + k2 x2 ) , -1 ≤x ≤1 ,

для случаев       к = 1,5,10,15.    Использовать для интерполяции: а) набор
равноотстоящих узлов с x0 = -1, xn = 1; б) набор чебышевских узлов на отрезке
[-1,1].
        Задание 11. Провести аналогичное исследование для функции

                             f(x) = | x |   , -1 ≤x ≤1 .

     Задание 12. Составить программу вычисления значений локального
интерполянта LnN для заданной на отрезке [a,b] функции f. Исследовать с
помощью этой программы поведение локальных интерполянтов L1N , L2N , L3N
функции f(x) = 1 / ( 1 + 25 x2 ) , -1 ≤ x ≤ 1 при изменении N. Найти
экспериментально значения N(n) , n = 1,2,3 , при которых погрешность
локальных интерполянтов LnN указанной функции на отрезке [-1,1] становится
меньше 10-3.

     110. Литература.

     1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.:
        Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1965.- 520 с.
     2. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: Гостехиздат,
        1949.- 688с.
     3. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
        математических вычислений. М.: Мир, 1980.-280 с.
     4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы
        высшей математики. Т.1. Мн.: Вышэйш. Школа, 1972.-584 с.
     5. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат.
        литературы, 1982.-256 с.

                                                                              35

Страницы