ВУЗ:
Составители:
34
Поэтому неравенство (9.5) есть неравенство (9.3) с константой K
n
, равной
выражению (9.6).
Теорема 9.5. Для любой непрерывной на [a,b] функции f
последовательность её локальных интерполянтов p
n
N
(f) сходится при N → ∞ к
f равномерно на отрезке [a,b] :
Доказательство . Сформулированный результат следует из теоремы Банаха –
Штейнгауза, поскольку теорема 9.2 ввиду плотности класса С
n+1
[a,b] в
пространстве C[a,b] означает, что операторы L
n
N
локального интерполирования
удовлетворяют условию а) теоремы 8.2, а лемма 9.4 – что операторы L
n
N
удовлетворяют и условию б ) этой теоремы.
10
0
. Задачи и упражнения .
Упражнение 1. Пользуясь общим выражением (2.6), выписать формулу для
интерполяционного многочлена в случае линейной ( n = 1 ) и квадратичной ( n =
= 2 ) интерполяции на отрезке [a,b], считая в случае n = 1 узлы интерполяции
совпадающими с концами отрезка, а в случае n = 2 – совпадающими с концами и
серединой отрезка.
Упражнение 2. Используя неравенство (4.11), оценить погрешность
линейной интерполяции для функции e
x
на отрезке [0,1]. Сравнить полученную
оценку с фактической погрешностью .
Задача 3. В качестве узлов интерполяции на отрезке [0,1] выбраны точки
x
0
= 0, x
1
= p. При каком p погрешность интерполяции на классе функций , вторая
производная которых постоянна на [0,1] и равна 5 , т.е. величина
окажется минимальной? Найти величину α , отвечающую оптимальному p , и
сравнить её с α(1).
Упражнение 4. Указать примерный вид графиков многочленов Чебышева
T
7
(x) , T
8
(x) на отрезке [-1,1].
Упражнение 5. Приблизить функцию f(x)=x
3
на отрезке [-1,1]
интерполяционным многочленом 2–ой степени, выбрав узлы интерполяции так ,
чтобы погрешность интерполяционного многочлена на этом отрезке
оказалась минимальной.
.N при0)f(pf
]b,a[C
N
n
∞→→−
)x(p)x(fmax
1
1x0
−
≤≤
1p0,)f;x(p)x(fmaxsup)p(
1
1x0
f
≤<−=α
≤≤
)x(p)x(fmax
2
1x1
−
≤≤−
Поэтому неравенство (9.5) есть неравенство (9.3) с константой Kn , равной выражению (9.6). Теорема 9.5. Для любой непрерывной на [a,b] функции f последовательность её локальных интерполянтов pn (f) сходится при N → ∞ к N f равномерно на отрезке [a,b] : f −p nN ( f ) → 0 при N → ∞ . C[ a , b ] Доказательство. Сформулированный результат следует из теоремы Банаха – Штейнгауза, поскольку теорема 9.2 ввиду плотности класса Сn+1[a,b] в пространстве C[a,b] означает,что операторы LnN локального интерполирования удовлетворяют условию а) теоремы 8.2, а лемма 9.4 – что операторы LnN удовлетворяют и условию б) этой теоремы. 100. Задачи и упражнения. Упражнение 1. Пользуясь общим выражением (2.6), выписать формулу для интерполяционного многочлена в случае линейной ( n = 1 ) и квадратичной ( n = = 2 ) интерполяции на отрезке [a,b], считая в случае n = 1 узлы интерполяции совпадающими с концами отрезка, а в случае n = 2 – совпадающими с концами и серединой отрезка. Упражнение 2. Используя неравенство (4.11), оценить погрешность max f ( x ) −p 1 ( x ) 0 ≤x ≤1 линейной интерполяции для функции e x на отрезке [0,1]. Сравнить полученную оценку с фактической погрешностью. Задача 3. В качестве узлов интерполяции на отрезке [0,1] выбраны точки x0 = 0, x1 = p. При каком p погрешность интерполяции на классе функций, вторая производная которых постоянна на [0,1] и равна 5 , т.е. величина α ( p ) = sup max f ( x ) −p 1 ( x ; f ) , 0 < p ≤1 f 0 ≤x ≤1 окажется минимальной? Найти величину α , отвечающую оптимальному p , и сравнить её с α(1). Упражнение 4. Указать примерный вид графиков многочленов Чебышева T7(x) , T8(x) на отрезке [-1,1]. Упражнение 5. Приблизить функцию f(x)=x3 на отрезке [-1,1] интерполяционным многочленом 2–ой степени, выбрав узлы интерполяции так, чтобы погрешность интерполяционного многочлена на этом отрезке max f ( x ) −p 2 ( x ) −1 ≤x ≤1 оказалась минимальной. 34