ВУЗ:
Составители:
34
Поэтому неравенство (9.5) есть неравенство (9.3) с константой K
n
, равной
выражению (9.6).
Теорема 9.5. Для любой непрерывной на [a,b] функции f
последовательность её локальных интерполянтов p
n
N
(f) сходится при N → ∞ к
f равномерно на отрезке [a,b] :
Доказательство . Сформулированный результат следует из теоремы Банаха –
Штейнгауза, поскольку теорема 9.2 ввиду плотности класса С
n+1
[a,b] в
пространстве C[a,b] означает, что операторы L
n
N
локального интерполирования
удовлетворяют условию а) теоремы 8.2, а лемма 9.4 – что операторы L
n
N
удовлетворяют и условию б ) этой теоремы.
10
0
. Задачи и упражнения .
Упражнение 1. Пользуясь общим выражением (2.6), выписать формулу для
интерполяционного многочлена в случае линейной ( n = 1 ) и квадратичной ( n =
= 2 ) интерполяции на отрезке [a,b], считая в случае n = 1 узлы интерполяции
совпадающими с концами отрезка, а в случае n = 2 – совпадающими с концами и
серединой отрезка.
Упражнение 2. Используя неравенство (4.11), оценить погрешность
линейной интерполяции для функции e
x
на отрезке [0,1]. Сравнить полученную
оценку с фактической погрешностью .
Задача 3. В качестве узлов интерполяции на отрезке [0,1] выбраны точки
x
0
= 0, x
1
= p. При каком p погрешность интерполяции на классе функций , вторая
производная которых постоянна на [0,1] и равна 5 , т.е. величина
окажется минимальной? Найти величину α , отвечающую оптимальному p , и
сравнить её с α(1).
Упражнение 4. Указать примерный вид графиков многочленов Чебышева
T
7
(x) , T
8
(x) на отрезке [-1,1].
Упражнение 5. Приблизить функцию f(x)=x
3
на отрезке [-1,1]
интерполяционным многочленом 2–ой степени, выбрав узлы интерполяции так ,
чтобы погрешность интерполяционного многочлена на этом отрезке
оказалась минимальной.
.N при0)f(pf
]b,a[C
N
n
∞→→−
)x(p)x(fmax
1
1x0
−
≤≤
1p0,)f;x(p)x(fmaxsup)p(
1
1x0
f
≤<−=α
≤≤
)x(p)x(fmax
2
1x1
−
≤≤−
Поэтому неравенство (9.5) есть неравенство (9.3) с константой Kn , равной
выражению (9.6).
Теорема 9.5. Для любой непрерывной на [a,b] функции f
последовательность её локальных интерполянтов pn (f) сходится при N → ∞ к
N
f равномерно на отрезке [a,b] :
f −p nN ( f ) → 0 при N → ∞ .
C[ a , b ]
Доказательство. Сформулированный результат следует из теоремы Банаха –
Штейнгауза, поскольку теорема 9.2 ввиду плотности класса Сn+1[a,b] в
пространстве C[a,b] означает,что операторы LnN локального интерполирования
удовлетворяют условию а) теоремы 8.2, а лемма 9.4 – что операторы LnN
удовлетворяют и условию б) этой теоремы.
100. Задачи и упражнения.
Упражнение 1. Пользуясь общим выражением (2.6), выписать формулу для
интерполяционного многочлена в случае линейной ( n = 1 ) и квадратичной ( n =
= 2 ) интерполяции на отрезке [a,b], считая в случае n = 1 узлы интерполяции
совпадающими с концами отрезка, а в случае n = 2 – совпадающими с концами и
серединой отрезка.
Упражнение 2. Используя неравенство (4.11), оценить погрешность
max f ( x ) −p 1 ( x )
0 ≤x ≤1
линейной интерполяции для функции e x на отрезке [0,1]. Сравнить полученную
оценку с фактической погрешностью.
Задача 3. В качестве узлов интерполяции на отрезке [0,1] выбраны точки
x0 = 0, x1 = p. При каком p погрешность интерполяции на классе функций, вторая
производная которых постоянна на [0,1] и равна 5 , т.е. величина
α ( p ) = sup max f ( x ) −p 1 ( x ; f ) , 0 < p ≤1
f 0 ≤x ≤1
окажется минимальной? Найти величину α , отвечающую оптимальному p , и
сравнить её с α(1).
Упражнение 4. Указать примерный вид графиков многочленов Чебышева
T7(x) , T8(x) на отрезке [-1,1].
Упражнение 5. Приблизить функцию f(x)=x3 на отрезке [-1,1]
интерполяционным многочленом 2–ой степени, выбрав узлы интерполяции так,
чтобы погрешность интерполяционного многочлена на этом отрезке
max f ( x ) −p 2 ( x )
−1 ≤x ≤1
оказалась минимальной.
34
