Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 26 стр.

      Имеем
                      n                          n                                    n
  p n ( x∗∗; f ) =   ∑ f ( x k ) l k ( x∗∗) =
                     k =0
                                                ∑ ( sign l k ( x∗∗) ) l k ( x∗∗) =
                                                k =0
                                                                                     ∑
                                                                                     k =0
                                                                                            l k ( x∗∗)   =


   = ∑ l k ( x∗∗) = λ n ,


откуда
                          L n ( f ) = p n ( f ) = max p n ( x ; f ) ≥ p n ( x∗∗; f ) = λ n .
                                                     a ≤x ≤b



А так как норма построенной функции f равна, очевидно, единице ( см. формулы
(7.12) и рис. 7.1 ), справедливо неравенство

                                   L n ( f ) / f ≥ λn ,

а, значит, ввиду (7.7)

                              Ln    = sup ( L n ( f ) / f ) ≥ λ n .
                                       f



     Сопоставление этого неравенства с неравенством (7.10) с учётом
обозначения (7.11) и даёт (7.8).
     Замечание 7.5. Итак, норма оператора интерполирования представляет
собой конечное вещественное число:

                                           L n <∞ .

Операторы в линейном            нормированном пространстве, обладающие таким
свойством, называются ограниченными. Следовательно, при любом n и любом
наборе узлов x0 ,x1 , ... , xn оператор Ln ограничен.



                                                                                                         26