Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 24 стр.

      Зафиксируем на отрезке [a,b] узлы интерполяции x0,x1, ... ,xn .
      Определение 7.1. Сопоставление каждой непрерывной функции f из C[a,b]
её интерполяционного многочлена pn(f), существующего и единственного в силу
теоремы 1.3, порождает отображение пространства C[a,b] в себя, называемое
далее оператором интерполирования и обозначаемое символом Ln :

                                              Ln : f → pn ( f ) .

          Лемма 7.2. Оператор интерполирования линеен:

                                       Ln ( f + g ) = Ln ( f ) + Ln ( g ) ,

                                       Ln ( λ f ) = λ Ln ( f ) .

     Доказательство. Используя для записи интерполяционного многочлена
формулу Лагранжа (2.6) и учитывая (7.1), (7.2), получим требуемые равенства:


                              n                                     n
 ( Ln ( f +g ) ) ( x ) = ∑ ( f +g ) ( x k ) l k ( x ) = ∑ ( f ( x k ) +g ( x k ) ) l k ( x ) =
                             k =0                                  k =0
    n                             n
= ∑ f ( x k ) l k ( x ) + ∑ g( x k ) l k ( x ) = ( L n (f ) )( x) + ( L n ( g) )( x )        ,
   k =0                       k =0


                       n                                n                          n
( L n ( λ f ) ) ( x ) = ∑ ( λ f ) ( x k ) l k ( x ) = ∑ λf ( x k ) l k ( x ) = λ ∑ f ( x k ) l k ( x ) =
                      k =0                           k =0                         k =0

= λ (L n (f ))( x) .

      Применение оператора интерполирования Ln к функции f с нормой || f ||
даёт новую функцию Ln(f) с нормой || Ln(f) || . Отношение

                                               || Ln(f) || / || f ||                                        (7.6)

представляет собой коэффициент изменения нормы функции при применении к
ней оператора Ln .
      Определение 7.3. Максимальный из коэффициентов (7.6) называют нормой
оператора Ln и обозначают символом || Ln || :
                                                        L n (f )
                                      Ln   = sup                          .                                ( 7.7 )
                                              f ≠0          f

          Лемма 7.4. Справедлива формула
                                                            n
                                      L n = max
                                              a ≤x ≤b
                                                         ∑
                                                         k =0
                                                                l k ( x)      .                            ( 7.8)
                                                                                                                24