Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 22 стр.

     70. Оператор интерполирования в пространстве непрерывных функций.

      Совокупность всех непрерывных на [a,b] функций обозначают символом
C[a,b]. Это множество является линейным пространством: под суммой функций f
и g и под произведением λf вещественного числа λ и функции f понимают
соответственно непрерывные функции f+g, λf, значения которых в точках x
отрезка [a,b] задаются формулами

                      (f+g)(x)=f(x)+g(x),                                            (7.1)

                         ( λf ) ( x ) = λ f ( x ) .                                  (7.2)

роль нуля в этом линейном пространстве играет функция, тождественно равная
нулю на [a,b] ; как и в числовом случае, она обозначается символом 0.
     В отличие от конечномерных пространств, рассматриваемых курсе алгебры
и геометрии, пространство C[a,b] бесконечномерно: при любом n = 0,1, ...
функции f0, f1, ... , fn , заданные на [a,b] формулой

                              fk ( x ) = xk ,

образуют линейно независимый набор функций. Это следует из того, что их
линейная комбинация

                                    c0f0 + c1f1 + ... +cnfn

при отличии хотя бы одного коэффициента ci от нуля представляет собой
ненулевой многочлен степени не выше n и как таковая способна обратиться в
нуль не более чем в n точках отрезка [a,b], а, значит, не может оказаться
функцией, равной нулю во всех точках [a,b].
      Для того,чтобы ввести в пространстве C[a,b] норму ( т.е. «величину» )
элемента, полезно рассматривать функцию f как бесконечномерный вектор, x-
вая компонента которого равна значению функции в точке x : fx = f(x). Если
принять в качестве основы для обобщения кубическую норму вектора

                       (a1 ,a2 , ... ,a m )              = max                ai ,
                                                   Rm      i =1, 2, ... , m


то для нормы функции получится формула

                          f     C[ a , b ]
                                             = max f ( x )         ;                 ( 7.3)
                                               a ≤x ≤b



при этом выполнение требований



                                                                                        22