Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
сжатия вдоль оси ординат , уменьшающего модули ординат точек в 2
n-1
раз (рис .
6.4).
Из установленных свойств функции T
n
(θ) вытекают следующие свойства
многочлена T
n
(x) .
Теорема 6.8. Многочлен Чебышева T
n
(x) имеет на отрезке [-1,1] n
попарно различных корней
упорядоченных по убыванию
x
0
> x
1
> ... > x
k
> x
k+1
> ... > x
n-1
. (6.11)
Доказательство . Лемма 6.5 и равенство (6.3) дают
а потому точки (6.10) есть корни многочлена T
n
(x) . Принадлежность этих точек
отрезку [-1,1] следует из принадлежности точек (6.5) отрезку [0,π] и того
факта, что отображение (6.2) переводит отрезок [0,π] на отрезок [-1,1] ,
различность корней (6.10) - из различности корней (6.5) и взаимной
однозначности отображения (6.2), а неравенства (6.11) - из неравенств (6.6) и
монотонности (6.2) ( см. рис . 6.2 ).
Замечание 6.9. Формула (6.10) даёт все корни многочлена T
n
(x), поскольку
многочлен степени n не может иметь более n корней.
Теорема 6.10. Множество экстремумов многочлена T
n
(x) на отрезке [-1,1]
состоит из n+1 попарно различных точек
)01.6(,1n,...,1,0k,
n2
1k2
cosx
k
−=π
+
=
,)x(T)
n2
1k2
cos(T)
n2
1k2
(T0
knn
n
=π
+
=π
+
=
сжатия вдоль оси ординат, уменьшающего модули ординат точек в 2n-1 раз (рис.
6.4).




     Из установленных свойств функции �T n(θ) вытекают следующие свойства
многочлена Tn(x) .
     Теорема 6.8. Многочлен Чебышева Tn(x) имеет на отрезке [-1,1] n
попарно различных корней

                            2k +1
                 x k =cos         π , k =0,1, ... , n −1 ,                (6.10)
                             2n

упорядоченных по убыванию

                 x0 > x1 > ... > xk > xk+1 > ... > xn-1 .                 (6.11)

     Доказательство. Лемма 6.5 и равенство (6.3) дают

                            2k +1               2k +1
                 0 = Tn (         π) = Tn ( cos       π) = Tn ( x k ) ,
                             2n                  2n
а потому точки (6.10) есть корни многочлена Tn(x) . Принадлежность этих точек
отрезку [-1,1] следует из принадлежности точек (6.5) отрезку [0,π] и того
факта, что отображение (6.2) переводит отрезок [0,π] на отрезок [-1,1] ,
различность корней (6.10) - из различности корней (6.5) и взаимной
однозначности отображения (6.2), а неравенства (6.11) - из неравенств (6.6) и
монотонности (6.2) ( см. рис. 6.2 ).
      Замечание 6.9. Формула (6.10) даёт все корни многочлена Tn(x), поскольку
многочлен степени n не может иметь более n корней.
      Теорема 6.10. Множество экстремумов многочлена Tn(x) на отрезке [-1,1]
состоит из n+1 попарно различных точек


                                                                              18

Страницы