Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
Графики этих многочленов на отрезке [-1,1] изображены на рис . 6.1.
Замечание 6.2. После выполнения в (6.1) указанных алгебраических
операций действительно получится многочлен. Это следует из того, что при
сложении разложений
члены , содержащие корни в нечетных степенях, образуют пары взаимно
уничтожающихся слагаемых.
Замечание 6.3. Если смотреть на (6.1) не как на алгебраическое выражение,
а как на функцию переменной x , то
при | x | > 1 следует считать арифметическим квадратным корнем из
положительного числа x
2
– 1 , а при | x | ≤ 1 - квадратным корнем из
неположительного числа x
2
– 1 в смысле теории функций комплексного
переменного. При этом в последнем случае в качестве этого корня в обеих
круглых скобках берут одну и ту же ветвь двузначной функции √ z .
{
}
,x1xx1xx
2
1
)x(T
22
1
=−−+−+=
{
}
,
2
1
x)1x(1xx2x)1x(1xx2x
4
1
)x(T
2222222
2
−=−+−−+−+−+=
.x
4
3
x
1x)1x()1x(x31xx3x
1x)1x()1x(x31xx3x
8
1
)x(T
3
222223
222223
3
−=
−−−−+−−+
+−−+−+−+
=
(
)
(
)
,...1xxC1xxC1xxCx)1xx(
3
23n3
n
2
22n2
n
21n1
n
nn2
+−+−+−+=−+
−−−
...
)1x(xC)1x(xC1xxCx)1xx(
323n3
n
222n2
n
21n1
n
nn2
+−−−+−−=−−
−−−
1x
2
−
                1
                  {
      T1 ( x) = x+ x 2 −1 +x − x 2 −1 =x ,
                2
                                              }
                1
                  {
      T2 ( x) = x 2 +2x x 2 −1+( x 2 −1) +x 2 −2x x 2 −1+( x 2 −1) = x 2 − ,
                4
                                                                               }    1
                                                                                    2
                1 �� x +3x x −1+3x ( x −1) +( x −1) x −1+��
                      3    2   2           2          2       2
                                                                                 3
      T3 ( x ) = �                                                     �   =x 3 − x .
                8 � +x 3 −3x 2 x 2 −1+3x ( x 2 −1) −( x 2 −1) x 2 −1 �           4
                    �                                                    �

      Графики этих многочленов на отрезке [-1,1] изображены на рис. 6.1.




     Замечание 6.2. После выполнения в (6.1) указанных алгебраических
операций действительно получится многочлен. Это следует из того, что при
сложении разложений

    ( x + x 2 −1) n =x n +C1n x n −1 x 2 −1 +C n2 x n −2   (         )2
                                                               x 2 −1 +C 3n x n −3   (        )3
                                                                                         x 2 −1 +... ,

    ( x − x 2 −1) n =x n −C1n x n −1 x 2 −1+C 2n x n −2 ( x 2 −1) 2 −C3n x n −3 ( x 2 −1) 3 +...

члены, содержащие       корни в нечетных степенях, образуют пары взаимно
уничтожающихся слагаемых.
      Замечание 6.3. Если смотреть на (6.1) не как на алгебраическое выражение,
а как на функцию переменной x , то

                                          x 2 −1
при | x | > 1 следует считать арифметическим квадратным корнем из
положительного числа x2 – 1 , а при | x | ≤ 1 - квадратным корнем из
неположительного числа x2 – 1 в смысле теории функций комплексного
переменного. При этом в последнем случае в качестве этого корня в обеих
круглых скобках берут одну и ту же ветвь двузначной функции √z .


                                                                                                         14

Страницы