ВУЗ:
Составители:
14
Графики этих многочленов на отрезке [-1,1] изображены на рис . 6.1.
Замечание 6.2. После выполнения в (6.1) указанных алгебраических
операций действительно получится многочлен. Это следует из того, что при
сложении разложений
члены , содержащие корни в нечетных степенях, образуют пары взаимно
уничтожающихся слагаемых.
Замечание 6.3. Если смотреть на (6.1) не как на алгебраическое выражение,
а как на функцию переменной x , то
при | x | > 1 следует считать арифметическим квадратным корнем из
положительного числа x
2
– 1 , а при | x | ≤ 1 - квадратным корнем из
неположительного числа x
2
– 1 в смысле теории функций комплексного
переменного. При этом в последнем случае в качестве этого корня в обеих
круглых скобках берут одну и ту же ветвь двузначной функции √ z .
{
}
,x1xx1xx
2
1
)x(T
22
1
=−−+−+=
{
}
,
2
1
x)1x(1xx2x)1x(1xx2x
4
1
)x(T
2222222
2
−=−+−−+−+−+=
.x
4
3
x
1x)1x()1x(x31xx3x
1x)1x()1x(x31xx3x
8
1
)x(T
3
222223
222223
3
−=
−−−−+−−+
+−−+−+−+
=
(
)
(
)
,...1xxC1xxC1xxCx)1xx(
3
23n3
n
2
22n2
n
21n1
n
nn2
+−+−+−+=−+
−−−
...
)1x(xC)1x(xC1xxCx)1xx(
323n3
n
222n2
n
21n1
n
nn2
+−−−+−−=−−
−−−
1x
2
−
1 { T1 ( x) = x+ x 2 −1 +x − x 2 −1 =x , 2 } 1 { T2 ( x) = x 2 +2x x 2 −1+( x 2 −1) +x 2 −2x x 2 −1+( x 2 −1) = x 2 − , 4 } 1 2 1 �� x +3x x −1+3x ( x −1) +( x −1) x −1+�� 3 2 2 2 2 2 3 T3 ( x ) = � � =x 3 − x . 8 � +x 3 −3x 2 x 2 −1+3x ( x 2 −1) −( x 2 −1) x 2 −1 � 4 � � Графики этих многочленов на отрезке [-1,1] изображены на рис. 6.1. Замечание 6.2. После выполнения в (6.1) указанных алгебраических операций действительно получится многочлен. Это следует из того, что при сложении разложений ( x + x 2 −1) n =x n +C1n x n −1 x 2 −1 +C n2 x n −2 ( )2 x 2 −1 +C 3n x n −3 ( )3 x 2 −1 +... , ( x − x 2 −1) n =x n −C1n x n −1 x 2 −1+C 2n x n −2 ( x 2 −1) 2 −C3n x n −3 ( x 2 −1) 3 +... члены, содержащие корни в нечетных степенях, образуют пары взаимно уничтожающихся слагаемых. Замечание 6.3. Если смотреть на (6.1) не как на алгебраическое выражение, а как на функцию переменной x , то x 2 −1 при | x | > 1 следует считать арифметическим квадратным корнем из положительного числа x2 – 1 , а при | x | ≤ 1 - квадратным корнем из неположительного числа x2 – 1 в смысле теории функций комплексного переменного. При этом в последнем случае в качестве этого корня в обеих круглых скобках берут одну и ту же ветвь двузначной функции √z . 14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »