Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Доказательство . В силу (4.1) и (5.1) для величины (5.2) имеем
а потому величины (5.3) удовлетворяют неравенству
Правая часть этого неравенства не зависит от f и , значит, является верхней
границей для всей совокупности величин (5.3). Поэтому точная верхняя граница
(5.4) величин (5.3) как наименьшая из верхних границ удовлетворяет
соотношению
Покажем , что на самом деле здесь имеет место равенство . С этой целью
рассмотрим многочлен степени n+1 вида
где g(x) – произвольный многочлен степени не выше n . Дифференцируя (5.8)
n+1 раз , получим
Отсюда, с одной стороны , следует включение f ∈ C
M
n+1
[a,b] , а с другой – с
учётом (3.2) – вытекает равенство
а, значит, и равенство
А так как точная верхняя грань (5.4) совокупности величин (5.3) есть одна из её
верхних границ , она не может быть меньше конкретного элемента (5.9) этой
совокупности , и потому
,)xx(...)xx(
!)1n(
M
)xx(...)xx()xx(
!)1n(
))x((f
)f;}x{;x(p)x(f
n0n10
)1n(
in
−−
+
≤−−−
+
ξ
=−
+
.)xx(...)xx()xx(max
!)1n(
M
)f;}x{;x(p)x(fmax
n10
bxa
in
bxa
−−−
+
≤−
≤≤≤≤
)7.5(.)xx(...)xx()xx(max
!)1n(
M
)x,...,x,x(
n10
bxa
n10
−−−
+
≤α
≤≤
)8.5(,)x(gx
!)1n(
M
)x(f
1n
+
+
=
+
.M)x(f
)1n(
=
+
,)xx(...)xx()xx(
!)1n(
M
)f;}x{;x(p)x(f
n10in
−−−
+
=−
)9.5(.)xx(...)xx()xx(max
!)1n(
M
)f;)x{;x(p)x(fmax
n10
bxa
in
bxa
−−−
+
=−
≤≤≤≤
      Доказательство. В силу (4.1) и (5.1) для величины (5.2) имеем

                              f (n+1) (ξ( x))                                            M
f ( x)−p n ( x;{x i };f ) =                         ( x−x 0 )( x −x1 )...( x−x n ) ≤          ( x−x 0 )...( x−x n ) ,
                                  (n+1)!                                               (n+1)!

а потому величины (5.3) удовлетворяют неравенству
                                                             M
              max f ( x) −p n ( x;{x i };f ) ≤                    max ( x −x 0 )( x−x1)...( x−x n ) .
             a ≤x≤b                                       ( n+1)! a ≤x≤b

Правая часть этого неравенства не зависит от f и , значит, является верхней
границей для всей совокупности величин (5.3). Поэтому точная верхняя граница
(5.4) величин (5.3) как наименьшая из верхних границ удовлетворяет
соотношению

                                            M
            α( x 0 , x 1 ,..., x n ) ≤           max ( x−x 0 )( x −x1 )... ( x−x n ) .                        (5.7)
                                         ( n+1)! a≤x≤b

     Покажем, что на самом деле здесь имеет место равенство. С этой целью
рассмотрим многочлен степени n+1 вида

                                                      M
                                           f ( x) =        x n+1 +g( x) ,                                     (5.8)
                                                   ( n+1)!
где g(x) – произвольный многочлен степени не выше n . Дифференцируя (5.8)
n+1 раз, получим
                                                 ( n+1)
                                             f            (x) =M.

Отсюда, с одной стороны, следует включение �f ∈ C                               M
                                                                                 n+1
                                                                                     [a,b]     , а с другой – с
учётом (3.2) – вытекает равенство
                                               M
                f ( x) −p n ( x;{x i };f ) =         ( x −x0 )( x−x 1 )...( x−x n ) ,
                                            ( n +1)!

а, значит, и равенство
                                                      M
    max f ( x) −p n ( x;{x i );f ) =                       max ( x −x 0 )( x −x 1 )...( x−x n ) .             (5.9)
   a ≤x≤b                                          ( n+1)! a ≤x≤b

А так как точная верхняя грань (5.4) совокупности величин (5.3) есть одна из её
верхних границ, она не может быть меньше конкретного элемента (5.9) этой
совокупности , и потому
                                                                                                                  12

Страницы