Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
y
0
(1)
< y
1
(1)
< y
2
(1)
< ... < y
n
(1)
отрезка (4.7). Применяя затем теорему Ролля к отрезку [y
i
(1)
,y
i+1
(1)
] и функции h
′
,
приходим к упорядоченному набору
y
0
(2)
< y
1
(2)
< y
2
(2)
< ... < y
n-1
(2)
расположенных на отрезке (4.7) корней второй производной функции h
h
″
(y
i
(2)
) = 0 , i=0,1, ... ,n-1 ,
и так далее. В конце концов приходим к точке y
0
(n+1)
y
0
(n)
< y
0
(n+1)
< y
1
(n)
отрезка (4.7), в которой обращается в нуль (n+1)-я производная функции h
h
(n+1)
(y
0
(n+1)
) = 0 . (4.9)
Вычислим h
(n+1)
(x) из (4.4) и подставим результат в (4.9). Тогда получим
0 = f
(n+1)
(y
0
(n+1)
) – K
∗
(n+1)! ,
откуда
K
∗
= f
(n+1)
(y
0
(n+1)
) / (n+1)! . (4.10)
Переобозначая здесь точку y
0
(n+1)
через ξ(x
∗
) ( зависимость y
0
(n+1)
от
выбора x
∗
очевидна ) и подставляя (4.10) в (4.3), получим требуемое равенство
(4.1) для x = x
∗
, что ввиду произвольности x
∗
и завершает доказательство .
Замечание 4.3. Из формулы (4.1) следует неравенство
а затем и неравенство
Фигурирующее в левой части этого неравенства выражение называют
погрешностью интерполяции функции f на отрезке [a,b] ; неравенство (4.11) даёт
оценку этой погрешности .
Замечание 4.4. Если на отрезке между крайними узлами интерполяции
(n+1)-я производная интерполируемой функции меняется мало, то поведение
,)xx(...)xx()xx(max)x(fmax
!)1n(
1
)x(p)x(f
n10
bxa
)1n(
bxa
n
−−−
+
≤−
≤≤
+
≤≤
)11.4(.)xx(...)xx()xx(max)x(fmax
!)1n(
1
)x(p)x(fmax
n10
bxa
)1n(
bxa
n
bxa
−−−
+
≤−
≤≤
+
≤≤
≤≤
                     y0(1) < y1(1) < y2(1) < ... < yn(1)
 отрезка (4.7). Применяя затем теорему Ролля к отрезку [yi(1),yi+1(1)] и функции h′,
 приходим к упорядоченному набору

                                  y0(2) < y1(2) < y2(2) < ... < yn-1(2)

 расположенных на отрезке (4.7) корней второй производной функции h

                           h″(yi(2)) = 0 ,     i=0,1, ... ,n-1 ,

 и так далее. В конце концов приходим к точке y0(n+1)

                              y0(n) < y0(n+1) < y1(n)

 отрезка (4.7), в которой обращается в нуль (n+1)-я производная функции h

                                             h(n+1)(y0(n+1)) = 0 .                               (4.9)

        Вычислим h(n+1)(x) из (4.4) и подставим результат в (4.9). Тогда получим

                                   0 = f(n+1)(y0(n+1)) – K ∗(n+1)! ,

 откуда

                                       K ∗ = f (n+1)(y0(n+1)) / (n+1)! .                       (4.10)

       Переобозначая здесь точку y0(n+1) через ξ(x ∗) ( зависимость y0(n+1) от
 выбора x ∗ очевидна ) и подставляя (4.10) в (4.3), получим требуемое равенство
 (4.1) для x = x ∗ , что ввиду произвольности x ∗ и завершает доказательство.
       Замечание 4.3. Из формулы (4.1) следует неравенство
                                 1
            f ( x) −p n ( x) ≤        max f ( n+1) ( x) max ( x−x 0 )( x−x 1 )...( x−x n ) ,
                              ( n+1)! ≤x≤b
                                      a                 a ≤x≤b



 а затем и неравенство
                            1
  max f ( x) −p n ( x) ≤          max f ( n +1) ( x ) max ( x −x 0 )( x −x 1 )...( x −x n ) . ( 4.11)
a ≤x ≤b                 ( n +1)! a ≤x ≤b              a ≤x ≤b



 Фигурирующее в левой части этого неравенства выражение называют
 погрешностью интерполяции функции f на отрезке [a,b] ; неравенство (4.11) даёт
 оценку этой погрешности.
       Замечание 4.4. Если на отрезке между крайними узлами интерполяции
 (n+1)-я производная интерполируемой функции меняется мало, то поведение
                                                                                                    10

Страницы