Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
где q
n
– многочлен степени n. Так как при x=x
1
множитель (x – x
0
) в нуль не
обращается, узел x
1
есть корень многочлена q
n
, а тогда вторичное применение
теоремы Безу даёт
r
n
(x) = (x – x
0
)(x – x
1
)q
n-1
(x),
где q
n-1
– многочлен степени n-1. Продолжая эти рассуждения , окончательно
придём к формуле
r
n
(x) = (x – x
0
)(x – x
1
)...(x – x
n
)q
0
(x),
где q
0
– многочлен нулевой степени, т.е. константа: q
0
=const=K.
Итак ,
f(x) – p
n
(x) = K(x – x
0
)(x – x
1
)...(x – x
n
) . (3.3)
Старший член в правой части (3.3) имеет вид : Kx
n+1
, а потому
f(x) – p
n
(x) = Kx
n+1
+ g
n
(x) , (3.4)
где g
n
(x) – многочлен степени не выше n .
Найдём константу K. Беря от обеих частей равенства (3.4) (n+1)-ю
производную по x и учитывая , что эта производная от x
n+1
равна (n+1)! , а от
многочленов p
n
, g
n
степени n – нулю , получим
f
(n+1)
(x) = K(n+1)! .
Выражая отсюда константу K и подставляя результат в (3.3), приходим к
формуле (3.2).
Замечание 3.3. При переходе переменной x через узел x
k
множитель x –x
k
меняет знак , тогда как остальные множители знак сохраняют. Поэтому график
погрешности интерполяции на отрезке [a,b] - осциллирующая (т.е.
колеблющаяся) кривая , пересекающая ось x в узлах интерполяции:
x
0
x
1
x
2
x
3
Рис . 3.1
Выясним , как меняется размах этих колебаний при перемещении точки x
по отрезку интерполяции [a,b] ,считая узлы x
k
упорядоченными по возрастанию
a ≤ x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
k
< ... < x
n
≤ b
( чего ранее мы не предполагали ) и равноотстоящими 
где qn – многочлен степени n. Так как при x=x1 множитель (x – x0) в нуль не
обращается, узел x1 есть корень многочлена qn, а тогда вторичное применение
теоремы Безу даёт

                         rn(x) = (x – x0)(x – x1)qn-1(x),

где qn-1 – многочлен степени n-1. Продолжая эти рассуждения, окончательно
придём к формуле

                    rn(x) = (x – x0)(x – x1)...(x – xn)q0(x),

где q0 – многочлен нулевой степени, т.е. константа: q0=const=K.
      Итак,

                  f(x) – pn(x) = K(x – x0)(x – x1)...(x – xn) .                (3.3)

     Старший член в правой части (3.3) имеет вид: Kxn+1 , а потому

                           f(x) – pn(x) = Kxn+1 + gn(x) ,                      (3.4)

где gn(x) – многочлен степени не выше n .
      Найдём константу K. Беря от обеих частей равенства (3.4) (n+1)-ю
производную по x и учитывая, что эта производная от xn+1 равна (n+1)! , а от
многочленов pn, gn степени n – нулю, получим

                           f(n+1) (x) = K(n+1)! .

     Выражая отсюда константу K и подставляя результат в (3.3), приходим к
формуле (3.2).
     Замечание 3.3. При переходе переменной x через узел xk множитель x –xk
меняет знак, тогда как остальные множители знак сохраняют. Поэтому график
погрешности интерполяции на отрезке        [a,b]   -   осциллирующая (т.е.
колеблющаяся) кривая, пересекающая ось x в узлах интерполяции:

                    x0          x1               x2          x3
                                                                    Рис. 3.1



      Выясним, как меняется размах этих колебаний при перемещении точки x
по отрезку интерполяции [a,b] ,считая узлы xk упорядоченными по возрастанию

                          a≤x0 < x1 < x2 < ... < xk < ... < xn ≤b

( чего ранее мы не предполагали ) и равноотстоящими

                                                                                   6

Страницы