Избранные вопросы курса численных методов. Выпуск 1. Интерполяция алгебраическими многочленами. Многочлен Лагранжа. Гудович Н.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
1.Фиксируя k ( k=0,1,...,n), образуем всевозможные разности x-x
i
, i≠k , а
затем , перемножая эти разности, получаем многочлен n-ой степени
равный нулю во всех узлах , кроме x
k
, и принимающий в узле x
k
ненулевое
значение
Для произведения (2.1) будет использоваться и более подробное
обозначение
(x – x
0
)(x – x
1
)...(x – x
k-1
)(x – x
k+1
)...(x – x
n
) , (2.1’)
которое при 1≤ k ≤ n-1 следует понимать буквально, а при k=0 и k=n - считать
символическим обозначением произведений
(x – x
1
)(x – x
2
)...(x – x
n
) , (x – x
0
)(x – x
1
)...(x – x
n-1
) ;
аналогичное обозначение будет использоваться и для (2.2).
2.Делим многочлен (2.1) на величину (2.2) и получаем многочлен n-ой
степени
равный единице в узле x
k
и нулю в остальных узлах
3.Умножаем многочлен (2.3) на f(x
k
) и, суммируя по k, приходим к
многочлену Лагранжа
∏
≠
=
−
n
ki
0i
i
)1.2(,)xx(
∏
≠
=
−
n
ki
0i
ik
)2.2(.)xx(
)3.2(,
)xx(
)xx(
)xx)...(xx)(xx)...(xx)(xx(
)xx)...(xx)(xx)...(xx)(xx(
)x(l
n
ki
0i
ik
n
ki
0i
i
nk1kk1kk1k0k
n1k1k10
k
∏
∏
≠
=
≠
=
+−
+−
−
−
=
−−−−−
−−−−−
=
≠
=
=
)5.2(.ki,0
)4.2(ki,1
)x(l
ik
)6.2(.)x(l)x(f
)xx(
)xx(
)x(f
)xx)...(xx)(xx)...(xx(
)xx)...(xx)(xx)...(xx(
)x(f)x(p
n
0k
kk
n
0k
ki
ik
ki
i
k
n
0k
nk1kk1kk0k
n1k1k0
kn
∑
∑
∏
∏
∑
=
=
≠
≠
=
+−
+−
=
=
−
−
=
−−−−
−−−−
=
      1.Фиксируя k ( k=0,1,...,n), образуем всевозможные разности x-xi , i≠k , а
затем, перемножая эти разности, получаем многочлен n-ой степени
                                                    n

                                                   ∏(x −x )
                                                   i=0
                                                                  i        ,                                             (2.1)
                                                   i≠k

равный нулю во всех узлах, кроме xk, и принимающий в узле xk ненулевое
значение
                                                     n

                                                   ∏(x
                                                    i=0
                                                             k   −xi ) .                                                 (2.2)
                                                    i≠k



     Для произведения (2.1)                      будет           использоваться и более подробное
обозначение

                              (x – x0)(x – x1)...(x – xk-1)(x – xk+1)...(x – xn)                           ,           (2.1’)

которое при 1≤k ≤n-1 следует понимать буквально, а при k=0 и k=n - считать
символическим обозначением произведений

          (x – x1)(x – x2)...(x – xn)                    ,            (x – x0)(x – x1)...(x – xn-1)                ;

аналогичное обозначение будет использоваться и для (2.2).
     2.Делим многочлен (2.1) на величину (2.2) и получаем многочлен n-ой
степени
                                                                                       n

                                                                                     ∏ (x −x )
                                                                                      i =0
                                                                                                       i

                  (x −x 0 )(x −x1 )...(x −x k −1 )(x −x k +1 )...(x −x n )            i ≠k
    l k ( x) =                                                                   =                             ,        (2.3)
              (x k −x 0 )(x k −x1 )...(x k −x k −1 )(x k −x k +1 )...(x k −x n )      n

                                                                                   ∏ (x
                                                                                     i =0
                                                                                               k    −x i )
                                                                                     i ≠k



равный единице в узле xk и нулю в остальных узлах

                                                         �1 ,           i =k                                           (2.4)
                                            l k (x i ) =�
                                                         � 0 ,           i ≠k .                                        (2.5)

        3.Умножаем многочлен (2.3) на f(xk) и, суммируя по k, приходим к
многочлену Лагранжа
          n
                       (x −x 0 )...(x −x k−1 )(x −x k+1 )...(x −x n )        n         ∏    (x −x i )
p n (x) =∑ f (x k )                                                        =∑ f (x k ) i ≠k
                                                                                                      =
         k =0       (x k −x 0 )...(x k −x k−1 )(x k −x k +1 )...(x k −x n ) k=0        ∏ (x k −xi )
                                                                                             i ≠k
    n
= ∑ f (x k ) l k (x) .                                                                                                  (2.6)
   k =0

                                                                                                                            4

Страницы