ВУЗ:
Составители:
3
эквивалентен вопросу об однозначной разрешимости этой системы при любых
правых частях
f(x
0
), f(x
1
), ... , f(x
k
), ... , f(x
n
). (1.5)
Матрица системы (1.4) имеет специальный вид : её m-тый ( m=0,1, ... ,n )
столбец составлен из m-тых степеней чисел (1.2). Матрицы такого типа в алгебре
называют матрицами Вандермонда; для построения матрицы B этого класса
выбирают ( не обязательно различные ) числа
b
0
, b
1
, ... , b
k
, ... b
n
, (1.6)
возводят их в m-тую степень и полученный упорядоченный набор чисел
(b
0
)
m
, (b
1
)
m
, ... , (b
k
)
m
, ... , (b
n
)
m
записывают в виде m-того столбца матрицы B. Известен способ вычисления
определителя такой матрицы: сначала следует образовать всевозможные разности
b
i
– b
j
, i>j (1.7)
чисел (1.6), а затем их перемножить :
В нашем случае роль чисел (1.6) играют числа (1.2): b
k
=x
k
, k=0,1, ... ,n. В
силу предположения о том, что узлы интерполяции – попарно различные точки
отрезка [a,b], разности (1.7), а значит, и их произведение (1.8) – определитель
системы (1.4) – отличны от нуля. Но тогда система однозначно разрешима при
любых правых частях (1.5), что и гарантирует существование и единственность
интерполяционного многочлена.
Замечание 1.4. Проведенные рассуждения указывают и способ построения
интерполяционного многочлена: по заданным узлам интерполяции (1.2) и
значениям (1.5) интерполируемой функции составляем систему (1.4), решаем её
относительно a
0
,a
1
, ... ,a
n
и подставляем полученные a
i
в (1.1). Такой способ
построения p
n
(x) называют методом неопределённых коэффициентов.
Замечание 1.5. Если в результате решения системы (1.4) для старших
коэффициентов a
n
,a
n-1
, ... ,a
n-r
получены нулевые значения , то фактическая
степень интерполяционного многочлена строго меньше n.
2
0
. Многочлен Лагранжа.
Лагранжем предложен способ построения интерполяционного многочлена,
который не требует решения системы (1.4) и состоит в следующем .
)8.1()bb(Bdet
ji
ji
∏
>
−=
эквивалентен вопросу об однозначной разрешимости этой системы при любых
правых частях
f(x0), f(x1), ... , f(xk), ... , f(xn). (1.5)
Матрица системы (1.4) имеет специальный вид: её m-тый ( m=0,1, ... ,n )
столбец составлен из m-тых степеней чисел (1.2). Матрицы такого типа в алгебре
называют матрицами Вандермонда; для построения матрицы B этого класса
выбирают ( не обязательно различные ) числа
b0, b1, ... , bk, ... bn , (1.6)
возводят их в m-тую степень и полученный упорядоченный набор чисел
(b0)m, (b1)m, ... , (bk)m, ... , (bn)m
записывают в виде m-того столбца матрицы B. Известен способ вычисления
определителя такой матрицы: сначала следует образовать всевозможные разности
b i – bj , i>j (1.7)
чисел (1.6), а затем их перемножить:
det B =∏ ( b i −b j ) (1 . 8 )
i >j
В нашем случае роль чисел (1.6) играют числа (1.2): bk=xk, k=0,1, ... ,n. В
силу предположения о том, что узлы интерполяции – попарно различные точки
отрезка [a,b], разности (1.7), а значит, и их произведение (1.8) – определитель
системы (1.4) – отличны от нуля. Но тогда система однозначно разрешима при
любых правых частях (1.5), что и гарантирует существование и единственность
интерполяционного многочлена.
Замечание 1.4. Проведенные рассуждения указывают и способ построения
интерполяционного многочлена: по заданным узлам интерполяции (1.2) и
значениям (1.5) интерполируемой функции составляем систему (1.4), решаем её
относительно a0,a1, ... ,an и подставляем полученные ai в (1.1). Такой способ
построения pn(x) называют методом неопределённых коэффициентов.
Замечание 1.5. Если в результате решения системы (1.4) для старших
коэффициентов an,an-1, ... ,an-r получены нулевые значения, то фактическая
степень интерполяционного многочлена строго меньше n.
20. Многочлен Лагранжа.
Лагранжем предложен способ построения интерполяционного многочлена,
который не требует решения системы (1.4) и состоит в следующем.
3
