Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 10 стр.

UptoLike

Составители: 

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɟɯ ɠɟ ɮɨɪɦɭɥ )4(),4(
cccc
ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɱɢɫɥɨ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
c
ɜ ɡɨɧɟ IV ɪɚɜɧɨ
ɱɢɫɥɭ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
ɜ ɡɨɧɟ V.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɨɛɴɟɞɢɧɢɬɶ ɡɨɧɵ
IV ɢ V, ɬɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ
ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
SS
c
,
ɜ ɷɬɨɦ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɢ ɨɤɚɠɟɬɫɹ
ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦ, ɚ ɡɧɚɱɢɬ, ɩɪɢ ɫɪɚɜɧɟɧɢɢ ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭɤɚɡɚɧɧɵɟ ɡɨɧɵ
ɦɨɠɧɨ ɨɩɭɫɬɢɬɶ.
Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤɠɟ ɫ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɮɨɪɦɭɥ
)4(),4(
ccccc
ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɜ
ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɢ ɡɨɧ
VI ɢ VII, ɚ ɩɨɬɨɦɭ ɞɥɹ ɫɪɚɜɧɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ
ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɢɬɶɫɹ ɤ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ ɡɨɧɟ
VIII, ɫɨɫɬɨɹɳɟɣ, ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɥɢɲɶ ɢɡ
ɨɞɧɨɣ ɩɚɪɵ
)
.1
l
,
l
(
ɉɭɫɬɶ ɩɚɪɟ ɦɟɫɬ 1
l
,
l
ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɩɨɪɹɞɨɤ, ɱɬɨ
ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ:
)
.1
l
(
)
l
(
S
S
ɉɟɪɟɩɢɫɵɜɚɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
ɮɨɪɦɭɥɵ ɷɬɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɜ ɜɢɞɟ
)4(
ccc
),1l()l(
c
!
c
S
S
ɩɪɢɯɨɞɢɦ ɤ
ɜɵɜɨɞɭ, ɱɬɨ ɬɚ ɠɟ ɩɚɪɚ ɦɟɫɬ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
c
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɭ.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
c
ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɛɨɥɶɲɟ ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ .
S
ȿɫɥɢ ɠɟ ɩɚɪɟ
1
l
,
l
ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɛɟɫɩɨɪɹɞɨɤ
)
,1
l
(
)
l
(
!
S
S
ɬɨ,
ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɫɢɥɭ ɷɬɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɟɪɟɩɢɫɚɧɨ ɜ ɜɢɞɟ
)4(
ccc
),1l()l(
c
c
SS
ɬɚ ɠɟ ɩɚɪɚ 1
l
,
l
ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
c
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɩɨɪɹɞɤɭ, ɢ
ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɱɢɫɥɨ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
c
ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɦɟɧɶɲɟ
ɱɢɫɥɚ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
.
S
ȼ ɥɸɛɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɱɢɫɥɨ ɛɟɫɩɨɪɹɞɤɨɜ ɭ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
SS
c
,
ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ; ɨɬɫɸɞɚ ɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɦɨɟ
ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ.
ɉɨɧɹɬɢɹɦ ɱɟɬɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɧɟɱɟɬɧɨɫɬɢ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɞɚɬɶ
ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɭɸ ɮɨɪɦɭ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
ɡɧɚɤɚ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ.
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 24. Ɂɧɚɤɨɦ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ʌ (ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ sign ʌ,
ɱɢɬɚɟɬɫɹ «ɫɢɝɧɭɦ ɩɢ») ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɱɢɫɥɨ +
1, ɟɫɥɢ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɱɟɬɧɚɹ, ɢ
ɱɢɫɥɨ (
–1), ɟɫɥɢ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɧɟɱɟɬɧɚɹ:
¯
®
.ɧɟɱɺɬɧɚɹɤɚɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɟɫɥɢ,1
,ɱɺɬɧɚɹɤɚɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɟɫɥɢ,1
sign
S
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 25. ɋ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟɦ ɞɚɧɧɨɝɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɥɟɦɦɭ 23
ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤ:
ɩɪɢ ɩɟɪɟɦɟɧɟ ɦɟɫɬɚɦɢ ɞɜɭɯ ɫɨɫɟɞɧɢɯ
ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɨɧɚ ɦɟɧɹɟɬ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɣ, ɢɥɢ,
ɞɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ,
ɡɧɚɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɭɦɧɨɠɚɟɬɫɹ ɧɚ (í1).
Ɉɩɢɪɚɹɫɶ ɧɚ ɥɟɦɦɭ 23, ɦɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɛɨɥɟɟ ɨɛɳɟɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 26
. ɉɪɢ ɩɟɪɟɦɟɧɟ ɦɟɫɬɚɦɢ (ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɢ) ɥɸɛɵɯ ɞɜɭɯ
ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ (ɧɟ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɫɨɫɟɞɧɢɯ) ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɦɟɧɹɟɬ ɡɧɚɤ ɧɚ
10
         ����������� ������� � ������� ��� �� ������ ( 4� ), ( 4��� )
���������������, ��� ����� ����������� � ������������ � � � ���� IV �����
����� ����������� � ������������ � � ���� V.
         �������������, ���� ���������� ���� IV � V, �� ����������
����������� � ������������ � , � � � ���� ����������� ��������
����������, � ������, ��� ��������� ����� ����������� ��������� ����
����� ��������.
         ����� ����� � �������������� ������ ( 4 �� ), ( 4 ��� ) ������������
��������� ����� ����������� � ��������������� ������������ �
����������� ��� VI � VII, � ������ ��� ��������� ����� �����������
�������� ���������� � ��������� ���� VIII, ���������, ��������, ���� ��
����� ���� ( l , l � 1 ).
         ����� ���� ���� l , l � 1 � ������������ � �������� �������, ���
���������� ������������: � ( l ) � � ( l � 1 ). ����������� � �������
������� ( 4 ��� ) ��� ����������� � ���� � �( l ) � � �( l � 1 ), �������� �
������, ��� �� �� ���� ���� � ������������ � � �������� ����������.
�������������, � ���� ������ ����� ����� ����������� � ������������
� � �� ������� ������ ����� ����������� � ������������ � . ���� �� ����
l , l � 1 � ������������ � �������� ���������� � ( l ) � � ( l � 1 ), ��,
��������� � ���� ( 4 ��� ) ��� ����������� ����� ���� ���������� � ����
� �( l ) � � �( l � 1 ), �� �� ���� l , l � 1 � ������������ � � �������� �������, �
� ���� ������ ����� ����������� � ������������ � � �� ������� ������
����� ����������� � ������������ � . � ����� ������ ����� ����������� �
������������ � , � � ���������� �� �������; ������ � ������� ������������
�����������.
         �������� �������� ��� ���������� ������������ ����� �������
������������� ����� � ������� ����� ������������.
         ����������� 24. ������ ������������ � (����������� sign �,
�������� «������ ��») ��������� ����� +1, ���� ������������ ������, �
����� (–1), ���� ������������ ��������:
                    �� 1, ���� ������������ ������ ,
         sign � � �
                    �� 1, ���� ������������ �������� .
         ��������� 25. � �������������� ������� ����������� ����� 23
����� ����������������� ���: ��� �������� ������� ���� ��������
��������� ������������ ��� ������ ���� �� ���������������, ���,
������� �������, ���� ������������ ���������� �� (�1).
         �������� �� ����� 23, ����� �������� ����� ����� �����������.
         ������� 26. ��� �������� ������� (������������) ����� ����
��������� (�� ����������� ��������) ������������ ������ ���� ��


                                        10