Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 19 стр.

UptoLike

Составители: 

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 40. Ʉɨɦɩɨɡɢɰɢɹ
S
S
c
c
c
$ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
SS
ccc
,
ɟɫɬɶ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ, ɭ ɤɨɬɨɪɨɣ ɧɚ i-ɦ ɦɟɫɬɟ (i = 1, 2, …, n) ɫɬɨɢɬ ɬɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬ,
ɤɨɬɨɪɵɣ
ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧ ɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
cc
ɧɚ ɦɟɫɬɟ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ ).i(
S
c
Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ i-ɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
SS
ccc
$ ɫɥɟɞɭɟɬ ɧɚɣɬɢ ɷɥɟɦɟɧɬ ),i(
S
c
ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɣ ɧɚ i-ɦ ɦɟɫɬɟ ɜ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ
S
c
, ɚ ɡɚɬɟɦ ɜɡɹɬɶ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ,
S
cc
ɧɚɯɨɞɹɳɢɣɫɹ ɜ
ɧɟɣ ɧɚ ɦɟɫɬɟ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ
).i(
S
c
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 41. ɇɚɣɬɢ ɤɨɦɩɨɡɢɰɢɸ
S
S
ccc
$ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
].3412[],2341[
cc
c
SS
Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɂɦɟɟɦ:
].3,2,1,4[)]1(),4(),3(),2([))]4(()),3(()),2((
)),1(([)]4)((),3)((),2)((),1)([(
cccccccc
ccccccccc
ccc
ccc ccccccccc
ccc
SSSSSSSSSS
SS SS SS SS SS SS
$$$$$
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 42. Ʉɨɦɩɨɡɢɰɢɸ ɩɨɞɫɬɚɧɨɜɨɤ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɬɚɤɠɟ ɢ ɢɯ
ɫɭɩɟɪɩɨɡɢɰɢɟɣ (ɤɚɤ ɢ ɜɨɨɛɳɟ ɤɨɦɩɨɡɢɰɢɸ ɮɭɧɤɰɢɣ), ɚ ɤɨɦɩɨɡɢɰɢɸ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ
ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 43
. Ɂɧɚɤ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɪɚɜɟɧ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ
ɡɧɚɤɨɜ ɫɨɦɧɨɠɢɬɟɥɟɣ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɪɢ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
)],n()i()2()1([
SSS
cc
SS
c
c
c
)],n()i()2()1([
S
S
SSS
cccccccc
cc
))].n(())i(())2(())1(([
SSSSSSSSSS
cccccccccccc
ccc
$
ɉɪɢɦɟɧɢɦ ɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ
S
c
ɨɩɢɫɚɧɧɵɣ ɜ ɡɚɦɟɱɚɧɢɢ 27 ɚɥɝɨɪɢɬɦ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɡɧɚɤɚ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ, ɫɨɩɪɨɜɨɠɞɚɹ ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɢ ɬɚɤɢɦɢ ɠɟ
ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɹɦɢ ɞɥɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
S
S
c
cc
$ .
1-ɣ ɲɚɝ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ. ɇɚɯɨɞɢɦ ɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ
S
c
ɷɥɟɦɟɧɬ ),i(
S
c
ɪɚɜɧɵɣ ɟɞɢɧɢɰɟ:
,1)i(
c
S
ɢ, ɦɟɧɹɹ ɦɟɫɬɚɦɢ ɷɬɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢ ɷɥɟɦɟɧɬ )1(
S
c
,
ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɣ ɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ
S
c
ɧɚ ɩɟɪɜɨɦ ɦɟɫɬɟ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ:
)9()].n()j()3()2(1[
1
SSSSS
cccc
c
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɚɹ ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
SS
ccc
$ ɫ ɭɱɟɬɨɦ
ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
)1())i((
SSS
cc
ccc
ɞɚɟɬ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ:
1
( ) [ (1) ( (2)) ( (3)) ( ( j)) ( (n))]. (10)
SS S SS SS SS SS
cc c cc ccc ccc ccc ccc
$
2-ɣ ɲɚɝ ɚɥɝɨɪɢɬɦɚ. ɇɚɯɨɞɢɦ ɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ (9) ɧɚ ɦɟɫɬɚɯ ɫɨ 2-ɝɨ ɞɨ
n-ɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬ ),2j()j( t
c
S
ɪɚɜɧɵɣ ɞɜɭɦ: 2)j(
c
S
, ɢ ɦɟɧɹɟɦ ɦɟɫɬɚɦɢ
ɷɬɨɬ ɷɥɟɦɟɧɬ ɢ ɷɥɟɦɟɧɬ
),2(
S
c
ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɣ ɜ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ (9) ɧɚ
ɜɬɨɪɨɦ ɦɟɫɬɟ. ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ:
)].n()3(21[
2
S
S
S
cc
c
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɚɹ ɬɪɚɧɫɩɨɡɢɰɢɹ ɞɥɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ
(10) ɫ ɭɱɟɬɨɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
)2())j((
SSS
cc
ccc
ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɟ:
19
          ����������� 40. ���������� � �� � � � ������������ � ��, � � ����
������������, � ������� �� i-� ����� (i = 1, 2, …, n) ����� ��� �������,
������� ���������� � ������������ � �� �� ����� � ������� � �( i ).
          ������� �������, ��� ���������� i-�� �������� ������������
� �� � � � ������� ����� ������� � �( i ), ������������� �� i-� ����� �
������������ � � , � ����� ����� ������� ������������ � ��, ����������� �
��� �� ����� � ������� � �( i ).
          ���������� 41. ����� ���������� � �� � � � ������������
� � � [ 2341 ], � �� � [ 3412 ].
          �������. �����:
� �� � � � � [( � �� � � � )( 1 ), ( � �� � � � )( 2 ), ( � �� � � � )( 3 ), ( � �� � � � )( 4 )] � [ � ��( � �( 1 )),
� ��( � �( 2 )), � ��( � �( 3 )), � ��( � �( 4 ))] � [ � ��( 2 ), � ��( 3 ), � ��( 4 ), � ��( 1 )] � [ 4 , 1, 2 , 3 ].
          ��������� 42. ���������� ����������� �������� ����� � ��
������������� (��� � ������ ���������� �������), � ����������
������������ – ������������� ������������.
          ������� 43. ���� ������������ ������������ ����� ������������
������ ������������.
          ��������������. ���������� ��� ������������
                             � � � [ � �( 1 ) � �( 2 ) � � �( i ) � � �( n )],
                             � �� � [ � ��( 1 ) � ��( 2 ) � � ��( i ) � � ��( n )],
                             � �� � � � � [ � ��( � �( 1 )) � ��( � �( 2 )) � � ��( � �( i )) � � ��( � �( n ))].
�������� � ������������ � � ��������� � ��������� 27 ��������
����������� ����� ������������, ����������� ������������ ������ ��
�������������� ��� ������������ � �� � � � .
          1-� ��� ���������. ������� � ������������ � � ������� � �( i ),
������ �������: � �( i ) � 1, �, ����� ������� ���� ������� � ������� � �( 1 ) ,
������������� � ������������ � � �� ������ �����, ��������
������������:
  � 1� � [ 1 � �( 2 ) � �( 3 ) � � �( j ) � � �( n )].                                                              (9)
          ����������� ������������ ��� ������������ � �� � � � � ������
��������� � ��( � �( i )) � � ��( 1 ) ���� ������������:
  ( � �� � � � )1 � [ � ��( 1 ) � ��( � �( 2 )) � ��( � �( 3 )) � � ��( � �( j )) �� ��( � �( n ))].             ( 10 )
          2-� ��� ���������. ������� � ������������ (9) �� ������ �� 2-�� ��
n-�� ������� � �( j ) ( j � 2 ), ������ ����: � �( j ) � 2 , � ������ �������
���� ������� � ������� � �( 2 ), ������������� � ������������ (9) ��
������ �����. � ���������� �������� ������������:
                                                � 2� � [ 1 2 � �( 3 ) � � �( n )].
          ����������� ������������ ��� ������������ (10) � ������ ���������
� ��( � �( j )) � � ��( 2 ) �������� � ������������:

                                                         19