Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 11. Ʉɚɤ ɜɢɞɧɨ ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜ (2), ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ n!
ɛɵɫɬɪɨ ɪɚɫɬɭɬ ɫ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ
n. ɉɨɷɬɨɦɭ ɧɚ ɪɢɫ. 3 ɩɨ ɨɫɹɦ x, y ɜɵɛɪɚɧ
ɪɚɡɧɵɣ ɦɚɫɲɬɚɛ.
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 12
. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ n! ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɲɢɪɢɬɶ,
ɞɨɛɚɜɢɜ ɜ ɧɟɟ ɱɢɫɥɨ
0 ɢ ɩɨɥɨɠɢɜ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ
)
3(.1!0
ɍ ɞɨɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ (ɨɧɚ ɩɨ-ɩɪɟɠɧɟɦɭ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
«ɷɧ ɮɚɤɬɨɪɢɚɥ») ɞɨɛɚɜɢɬɫɹ ɟɳɟ ɨɞɧɚ ɬɨɱɤɚ ɝɪɚɮɢɤɚ, ɨɬɜɟɱɚɸɳɚɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɭ
(3). Ⱦɚɥɶɧɟɣɲɟɟ ɞɨɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ
ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɯ ɱɢɫɟɥ
x (x 0) ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɜ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦ ɚɧɚɥɢɡɟ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɣ
ɝɚɦɦɚ-ɮɭɧɤɰɢɢ
ɗɣɥɟɪɚ,
ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ
)
n(
*
ɞɥɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ n ɪɚɜɧɨ (n í 1)!.
Ƚɪɚɮɢɤɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
1
x
(
*
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɥɢɧɢɹ, ɩɪɨɯɨɞɹɳɚɹ
ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɢ ɝɪɚɮɢɤɚ
n! (ɪɢɫ. 4).
Ɋɢɫ. 4.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 13. ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ n ɨɛɴɟɤɬɨɜ
ɪɚɜɧɨ
n!.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ. ɉɪɢ n = 1 ɢɦɟɟɦ ɨɞɢɧ ɨɛɴɟɤɬ, ɚ, ɡɧɚɱɢɬ, ɥɢɲɶ ɨɞɧɭ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ. ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ, ɜ ɫɢɥɭ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
(1) ɢɦɟɟɦ:
1! = 1;
ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ
n = 1 ɬɟɨɪɟɦɚ ɜɟɪɧɚ.
ɉɨɤɚɠɟɦ ɬɟɩɟɪɶ, ɱɬɨ ɢɡ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɢ ɬɟɨɪɟɦɵ ɩɪɢ ɱɢɫɥɟ
ɨɛɴɟɤɬɨɜ, ɪɚɜɧɨɦ
k, ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɟɟ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɶ ɢ ɩɪɢ ɱɢɫɥɟ ɨɛɴɟɤɬɨɜ,
ɪɚɜɧɨɦ
k + 1. ɋ ɷɬɨɣ ɰɟɥɶɸ ɫɧɚɛɞɢɦ ɷɬɢ k + 1 ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɧɨɦɟɪɚɦɢ 1, 2, …,
k + 1,
ɢ ɪɚɡɨɛɶɟɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ ɷɬɢɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɧɚ
ɝɪɭɩɩɵ, ɨɬɧɟɫɹ ɜ ɩɟɪɜɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ, ɧɚɱɢɧɚɸɳɢɟɫɹ ɫ ɩɟɪɜɨɝɨ
ɨɛɴɟɤɬɚ, ɜɨ ɜɬɨɪɭɸ ɝɪɭɩɩɭ – ɧɚɱɢɧɚɸɳɢɟɫɹ ɫɨ ɜɬɨɪɨɝɨ ɨɛɴɟɤɬɚ, ɢɬɚɤ
ɞɚɥɟɟ.
5 
      ��������� 11. ��� ����� �� �������� (2), �������� ������� n!
������ ������ � ����������� n. ������� �� ���. 3 �� ���� x, y ������
������ �������.
      ��������� 12. ������� ����������� ������� n! ����� ���������,
������� � ��� ����� 0 � ������� �� �����������
                              0 ! � 1.                            (3)
� �������������� ����� ������� ������� (��� ��-�������� ����������
«�� ���������») ��������� ��� ���� ����� �������, ���������� ���������
(3). ���������� ������������� ���� ������� �� ��������� ����
��������������� ������������ �����         x (x � 0) ���������� �
�������������� ������� � ������� ��� ���������� �����-�������
������, �������� ������� � ( n ) ��� ������������ n ����� (n � 1)!.
�������� ������� � ( x � 1 ) �������� ����������� �����, ����������
����� ����� ������� n! (���. 4).




                                       ���. 4.

      ������� 13. ����� ���� ��������� ������������ �� n ��������
����� n!.
      ��������������. ��� n = 1 ����� ���� ������, �, ������, ���� ����
������������. � ������ �������, � ���� ��������� (1) �����:
      1! = 1;
�������������, ��� n = 1 ������� �����.
      ������� ������, ��� �� �������������� ������� ��� �����
��������, ������ k, �������� �� �������������� � ��� ����� ��������,
������ k + 1. � ���� ����� ������� ��� k + 1 �������� �������� 1, 2, …,
k + 1, � �������� ������������ ���� ������������ �� ���� �������� ��
������, ������ � ������ ������ ������������, ������������ � �������
�������, �� ������ ������ – ������������ �� ������� �������, � ���
�����.

                                   5

Страницы