Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки. Гудович А.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɫɹɤɚɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫ ɤɚɤɨɝɨ ɬɨ ɨɛɴɟɤɬɚ ɧɚɱɢɧɚɟɬɫɹ, ɨɧɚ
ɧɟɩɪɟɦɟɧɧɨ ɩɨɩɚɞɟɬ ɜ ɨɞɧɭ ɢɡ ɷɬɢɯ ɝɪɭɩɩ, ɚ ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ,
ɨɬɜɟɱɚɸɳɢɟ ɪɚɡɧɵɦ ɝɪɭɩɩɚɦ, ɧɚɱɢɧɚɸɬɫɹ ɫ ɪɚɡɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ, ɧɢɤɚɤɚɹ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɧɟ ɫɦɨɠɟɬ ɩɨɩɚɫɬɶ ɜ ɪɚɡɧɵɟ ɝɪɭɩɩɵ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɞɥɹ
ɩɨɞɫɱɟɬɚ ɨɛɳɟɝɨ ɱɢɫɥɚ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɫɥɟɞɭɟɬ ɧɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɜ
ɤɚɠɞɨɣ ɝɪɭɩɩɟ ɢ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɫɥɨɠɢɬɶ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɝɪɭɩɩɭ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ, ɧɚɱɢɧɚɸɳɭɸɫɹ ɫ
i-ɝɨ ɨɛɴɟɤɬɚ.
ȼɫɟ ɬɚɤɢɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ: ɫɬɚɜɢɦ ɧɚ
ɩɟɪɜɨɟ ɦɟɫɬɨ
i-ɣ ɨɛɴɟɤɬ ɢ ɞɨɛɚɜɥɹɟɦ ɤ ɧɟɦɭ ɤɚɤɭɸ-ɥɢɛɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɭ ɢɡ
k ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ ɨɛɴɟɤɬɨɜ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɡ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɫ ɧɨɦɟɪɚɦɢ 1, 2, …, i í 1, i + 1,
…, k + 1).
ȼ ɫɢɥɭ ɧɚɲɟɝɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ n = k ɬɟɨɪɟɦɚ
ɜɟɪɧɚ, ɬɚɤɢɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɛɭɞɟɬ
k! ɲɬɭɤ, ɚ ɡɧɚɱɢɬ, ɫɬɨɥɶɤɨ ɠɟ ɛɭɞɟɬ ɢ
ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ
(k + 1) ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɜ ɷɬɨɣ ɝɪɭɩɩɟ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɨɛɳɟɟ
ɱɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ
k + 1 ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɨ
!.)1k()1k()k21()1k()!k(
ɝɪɭɩɩ
ɱɢɫɥɨ
ɝɪɭɩɩɟɜ
ɨɤɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜ
ɱɢɫɥɨ
ɋɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɶ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɦɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɬɟɩɟɪɶ ɢɡ
ɩɪɢɧɰɢɩɚ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɞɭɤɰɢɢ,
ɤɨɬɨɪɵɣ ɝɥɚɫɢɬ:
ɟɫɥɢ
ɚ) ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ, ɜ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɭ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɜɯɨɞɢɬ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ
n, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɩɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ n
0
ɢ
ɛ) ɢɡ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɢ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɩɪɢ n = k
(k n
0
) ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɩɪɢ n = k +1,
ɬɨ
ɫ) ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɜɟɪɧɨ ɩɪɢ ɜɫɟɯ n n
0
.
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ 14. ɉɪɢ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬɟɨɪɟɦ ɦɟɬɨɞɨɦ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɞɭɤɰɢɢ ɩɪɨɜɟɪɤɭ ɩɭɧɤɬɚ
ɚ) ɧɚɡɵɜɚɸɬ 1-ɦ ɲɚɝɨɦ (ɢɥɢ
ɛɚɡɢɫɨɦ) ɢɧɞɭɤɰɢɢ,
ɚ ɩɪɨɜɟɪɤɭ ɩɭɧɤɬɚ ɛ) – ɢɧɞɭɤɰɢɨɧɧɵɦ ɩɟɪɟɯɨɞɨɦ; ɩɪɢ
ɷɬɨɦ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɢ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɩɪɢ
n = k ɧɚɡɵɜɚɸɬ
ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟɦ ɢɧɞɭɤɰɢɢ.
ȼɨɩɪɨɫ 15. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ
ɱɢɫɟɥ
{1, 2, 3, 4}?
Ɉɬɜɟɬ: 4!=24.
ɉɟɪɟɣɞɟɦ ɤ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɸ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ ɱɢɫɟɥ
{1, 2, …, n}.
ȼɚɠɧɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɬɚɤɢɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɢɯ
ɱɟɬɧɨɫɬɶ ɢɥɢ
ɧɟɱɟɬɧɨɫɬɶ.
6 
      ��������� ������ ������������ � ������ �� ������� ����������, ���
���������� ������� � ���� �� ���� �����, � ��� ��� ������������,
���������� ������ �������, ���������� � ������ ��������, �������
������������ �� ������ ������� � ������ ������. �������������, ���
�������� ������ ����� ������������ ������� ����� ����� ������������ �
������ ������ � ���������� ���������� �������.
      ���������� ������ ������������, ������������ � i-�� �������.
��� ����� ������������ ����� �������� ��������� �������: ������ ��
������ ����� i-� ������ � ��������� � ���� �����-���� ������������ ��
k ���������� �������� (�� ���� �� �������� � �������� 1, 2, …, i � 1, i + 1,
…, k + 1). � ���� ������ ������������� � ���, ��� ��� n = k �������
�����, ����� ������������ ����� k! ����, � ������, ������� �� ����� �
������������ �� (k + 1) �������� � ���� ������. �������������, �����
����� ������������ �� k + 1 �������� ����� �����

                 ( k! )      � ( k � 1 ) � ( 1 � 2 � � � k ) � ( k � 1 ) � ( k � 1 )!.
                 ���           ���
              �����              �����
              ������������       �����
              � ������

       �������������� ������������ ������� �������� ������ �� ��������
�������������� ��������, ������� ������:
       ����
       �) �����������, � ������������ �������� ������ ����������� �����
n, ����������� ��� ��������� n0
       �
       �) �� ������������� � �������������� ����������� ��� n = k
(k � n0) �������� �������������� ����� ����������� ��� n = k +1,
       ��
       �) ��������� ����������� ����� ��� ���� n � n0.
       ��������� 14. ��� �������������� �������������� ������ �������
�������������� �������� �������� ������ �) �������� 1-� ����� (���
�������) ��������, � �������� ������ �) – ������������ ���������; ���
���� ������������� � �������������� ����������� ��� n = k ��������
�������������� ��������.
       ������ 15. ������� ���������� ������������ ������������ ��
����� {1, 2, 3, 4}?
       �����: 4!=24.
       �������� � ������������ ������������ �� ����� {1, 2, …, n}.
������ ��������������� ����� ������������ �������� �� �������� ���
����������.



                                            6

Страницы