Интегральное исчисление функции одной переменной (неопределенный интеграл). Гулидов A.И - 19 стр.

   Правую часть этого равенства будем дифференцировать по переменной
X как сложную функцию, считая t промежуточным аргументом.

     dx/dt=Y'(t) ⇒ dt/dx=1/ Y'(t)
(по правилу дифференцирования обратной функции).
   Таким образом,
   имеем:


                          что и требовалось доказать.
    Суть метода замены переменной в том, чтобы применяемая
подстановка позволила получить в правой части более простой интеграл
или сразу табличный.
    Из формулы также видно, что при выборе подстановки х = Y(t),
упрощающей подынтегральное выражение, в его состав должен войти
множитель Y'(t)dt, дающий, вообще говоря, дифференциал функции
Y(t).
    Это ещё раз подтверждает «отождествление» метода подведения под
дифференциал и метода подстановки.
    Указанный метод является одним из основных методов вычисления
неопределённых интегралов. Успех интегрирования зависит в основном
от того, сумеем ли мы подобрать замену переменной, которая бы
упростила интеграл. Применим метод подстановки к первым трем
примерам §2.
    Пример 1. Найти интеграл, применяя метод замены переменной:




                               18