Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 59 стр.

ZAMKNUTYH MNOVESTW, ZAMKNUTO W PROSTRANSTWE X . w SILU PROIZWOLXNOS-
TI WYBORA ZAMKNUTOGO MNOVESTWA C I PUNKTA 5) TEOREMY 8.5, POLU^AEM
NEPRERYWNOSTX OTOBRAVENIQ h.
    tEPERX DOKAVEM KRITERIJ NEPRERYWNOSTI OTOBRAVENIQ W TERMINAH
NAPRAWLENNOSTEJ.
    8.8. tEOREMA. dLQ NEPRERYWNOSTI OTOBRAVENIQ f : (X ) ;     ! (Y )
W TO^KE x0 2 X NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ WSQKOJ NAPRAW-
LENNOSTI S W X , SHODQ]EJSQ K TO^KE x0 , NAPRAWLENNOSTX f  S SHODILASX
W Y K TO^KE f (x0 ).
    dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. pUSTX (x
)
2
 ! x0 I V | PROIZ-
WOLXNAQ OKRESTNOSTX TO^KI f (x0 ) W Y . w SILU NEPRERYWNOSTI f W TO^KE
x0 SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX U \TOJ TO^KI, ^TO f (U ) V . tAK KAK
(x
 )
2
 ! x0 , TO SU]ESTWUET \LEMENT 
 2 , TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO
  
 IMEEM x 2 U , A, ZNA^IT, I f (x) 2 V .
    dOSTATO^NOSTX. pREDPOLOVIM, ^TO f NE QWLQETSQ NEPRERYWNYM W
TO^KE x0 . tOGDA SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX V TO^KI f (x0 ), ^TO W
KAVDOJ OKRESTNOSTI U TO^KI x0 MOVNO WYBRATX TO^KU xU , DLQ KOTOROJ
f (xU ) 2= V . nAPRAWLENNOSTX S = fxU : U 2 Ox0 g SHODITSQ K TO^KE x0 , W
TO WREMQ KAK NAPRAWLENNOSTX f  S NE SHODITSQ K f (x0 ). pROTIWORE^IE.
    w SLEDU@]EJ TEOREME UTWERVDAETSQ, ^TO SWQZNOSTX SOHRANQETSQ PRI
NEPRERYWNYH OTOBRAVENIQH. sLEDSTWIEM \TOJ TEOREMY QWLQETSQ OBOB-
]ENIE TEOREMY O PROMEVUTO^NOM ZNA^ENII IZ KURSA MATEMATI^ESKOGO
ANALIZA.
    8.9. tEOREMA. pUSTX f : (X ) ;  ! (Y ) NEPRERYWNO I A | SWQZNOE
PODMNOVESTWO W X . tOGDA f (A) SWQZNO W Y .
    dOKAZATELXSTWO. bEZ OGRANI^ENIQ OB]NOSTI MY MOVEM S^ITATX, ^TO
X = A I Y = f (A). pREDPOLOVIM, ^TO Y NESWQZNO. tOGDA Y = V1  V2,
GDE V1 I V2 | NEPUSTYE NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI. oTS@DA SLEDUET,
^TO NEPUSTYE OKRESTNOSTI f ;1(V1) I f ;1(V2) OBRAZU@T RAZBIENIE SWQZNOGO
PROSTRANSTWA X . pROTIWORE^IE.
    8.10. sLEDSTWIE. pUSTX f : X ;    ! Y | NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE
IZ SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X W LINEJNO UPORQDO^ENNOE
MNOVESTWO Y , NADELENNOE PORQDKOWOJ TOPOLOGIEJ. eSLI a I b | TO^KI
PROSTRANSTWA X , A y0 | TO^KA IZ Y , LEVA]AQ MEVDU f (a) I f (b), TO
SU]ESTWUET TO^KA x0 2 X , DLQ KOTOROJ f (x0 ) = y0.
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX A := f (X ) \ fy 2 Y j y  y0 y 6= y0g I
B := f (X ) \ fy 2 Y j y0  y y 6= y0g. qSNO, ^TO A I B | NEPUSTYE
NEPERESEKA@]IESQ OKRESTNOSTI W f (X ). eSLI BY TO^KI x0 , UKAZANNOJ W
                                   59