Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

UTWERVDENII TEOREMY, NE BYLO, TO f (X ) = A  B . nO \TO PROTIWORE^ILO
BY SWQZNOSTI f (X ).
    8.11. sLEDSTWIE. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (X ) NE QWLQET-
SQ SWQZNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET S@R_EKTIWNOE
NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE f : X ;! Y NA DISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE
PROSTRANSTWO, SOSTOQ]EE, PO KRAJNEJ MERE, IZ DWUH RAZLI^NYH TO^EK.
    dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. pUSTX X = U1  U2  GDE U1  U2 2
  n f?g I U1 \ U2 = ?. pUSTX Y = fy1 y2g | DISKRETNOE TOPOLOGI^ESKOE
PROSTRANSTWO, SOSTOQ]EE IZ DWUH RAZLI^NYH TO^EK. rASSMOTRIM S@R_EK-
TIWNOE OTOBRAVENIE f : X ;! Y OPREDELQEMOE FORMULOJ
                               ( y  ESLI x 2 U 
                       f (x) := 1               1
                                  y2 ESLI x 2 U2 :
    pOSKOLXKU DLQ PROOBRAZOW IME@T MESTO RAWENSTWA
           f ;1(?) = ? f ;1(Y ) = X f ;1(fyig) = Ui  i = 1 2
TO OTOBRAVENIE f NEPRERYWNO.
    dOSTATO^NOSTX. pUSTX SU]ESTWUET UKAZANNOE OTOBRAVENIE
f : X ;! Y . pREDPOLOVIM PROTIWNOE, TO ESTX, ^TO X QWLQETSQ SWQZNYM.
tOGDA, PO TEOREME 8.9, Y = f (X ) SWQZNO, ^TO NEWERNO.
    8.12. oPREDELENIQ. oTOBRAVENIE f : X ;    ! Y MEVDU DWUMQ TOPOLO-
GI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI NAZYWAETSQ OTKRYTYM (ZAMKNUTYM ), ESLI
DLQ L@BOGO OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) MNOVESTWA A X OBRAZ f (A) OT-
KRYT (ZAMKNUT) W Y .
    oTOBRAVENIE IZ PROIZWOLXNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA W DIS-
KRETNOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ ODNOWREMENNO I OTKRYTYM I ZAMKNUTYM.
wAVNYMI PRIMERAMI OTKRYTYH OTOBRAVENIJ QWLQ@TSQ: i) S@R_EKTIW-
NYE LINEJNYE OGRANI^ENNYE OPERATORY MEVDU BANAHOWYMI PROSTRANST-
WAMI (TEOREMA bANAHA) ii) S@R_EKTIWNYE NEPRERYWNYE GOMOMORFIZMY
MEVDU KOMPAKTNYMI TOPOLOGI^ESKIMI GRUPPAMI iii) NAKRYWA@]IE OTO-
BRAVENIQ TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW. w LITERATURE ^ASTO W OPREDELE-
NII OTKRYTOGO (ZAMKNUTOGO) OTOBRAVENIQ TREBUETSQ EGO NEPRERYWNOSTX.
    8.13. uPRAVNENIQ. 1) kOMPOZICIQ DWUH OTKRYTYH (ZAMKNUTYH) OTO-
BRAVENIJ OTKRYTA (ZAMKNUTA). 2) oTKRYTOE (ZAMKNUTOE) OTOBRAVENIE
NE OBQZATELXNO NEPRERYWNO. 3) nEPRERYWNOE OTOBRAVENIE MOVET BYTX:
i) ODNOWREMENNO NE OTKRYTYM I NE ZAMKNUTYM ii) OTKRYTYM, NO NE ZAMK-
NUTYM iii) ZAMKNUTYM, NO NE OTKRYTYM iv) ODNOWREMENNO I OTKRYTYM
I ZAMKNUTYM.
                                 60

Страницы