Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   9.   lEMMA uRYSONA. tEOREMA tITCE-uRYSONA.
   sLEDU@]AQ TEOREMA OBY^NO NAZYWAETSQ LEMMOJ uRYSONA.
   9.1. tEOREMA. dLQ L@BYH DWUH NEPUSTYH ZAMKNUTYH NEPERESEKA@-
]IHSQ PODMNOVESTW F0 I F1 NORMALXNOGO PROSTRANSTWA X SU]ESTWUET
NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f : X ;! 0 1], RAWNAQ NUL@ NA F0 I EDINICE NA F1.
   dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA W PROSTRANSTWE X S POMO]X@ INDUKCII
POSTROIM NEKOTOROE SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ, KOTOROE INDEKSIRUETSQ MNO-
VESTWOM RACIONALXNYH ^ISEL. zATEM \TO SEMEJSTWO ISPOLXZUEM DLQ OPRE-
DELENIQ ISKOMOJ FUNKCII.
   pUSTX S | MNOVESTWO WSEH RACIONALXNYH ^ISEL OTREZKA 0 1]. mY
POSTROIM SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ fOs : s 2 S g PROSTRANSTWA X , TAKOE,
^TO F0 O0 F1 X r O1 I
                        Op Oq PRI p < q:            ()
   zAINDEKSIRUEM \LEMENTY MNOVESTWA S S POMO]X@ MNOVESTWA NATU-
RALXNYH ^ISEL TAK, ^TOBY ^ISLA 0 I 1 BYLI PERWYMI DWUMQ ^LENAMI PO-
LU^A@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI. tAKIM OBRAZOM, MY MOVEM NAPISATX,
^TO S = fsn : n 2 N g GDE s1 = 0 s2 = 1.
   pUSTX O1 := X r F1 . w SILU NORMALXNOSTI X SU]ESTWUET OKRESTNOSTX
O0, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM F0 O0 O0 O1.
   pREDPOLOVIM, ^TO OKRESTNOSTI Osj OPREDELENY DLQ WSEH j 6 n, GDE
n > 2, I IMEET MESTO SWOJSTWO (n) :
                      Osi Osj PRI si < sj I i j 6 n:
   tEPERX OPREDELIM OKRESTNOSTX Osn+1 . rASSMOTRIM MNOVESTWO fsj :
j = 1 2 : : :  n + 1g. oBOZNA^IM ^EREZ l NAIBOLXEE IZ TEH ^ISEL \TOGO
MNOVESTWA, KOTORYE STROGO MENXE ^ISLA sn+1, A ^EREZ r | NAIMENXEE
IZ TEH ^ISEL \TOGO MNOVESTWA, KOTORYE STROGO BOLXE ^ISLA sn+1 (TAK
KAK sn+1 6= 0 1, TO TAKIE l I r NAJDUTSQ). pO PREDPOLOVENI@ INDUKCII,
OKRESTNOSTI Ol I Or UVE OPREDELENY I Ol Or . pOSKOLXKU PROSTRANSTWO
X NORMALXNO, SU]ESTWUET OKRESTNOSTX Osn+1 , TAKAQ, ^TO Ol Osn+1 I
Osn+1 Or . lEGKO WIDETX, ^TO SEMEJSTWO Os1  Os2  : : :  Osn+1 UDOWLETWORQ-
ET SWOJSTWU (n+1).
   w SILU PRINCIPA INDUKCII, OKRESTNOSTX Os OPREDELENA DLQ KAVDOGO
RACIONALXNOGO ^ISLA s IZ OTREZKA 0 1]. pRI \TOM WYPOLNQETSQ ():
   pOLAGAQ Oq = ? PRI q 2 Q \ (;1 0) I Oq = X PRI q 2 Q \ (1 +1) MY
IMEEM SEMEJSTWO OKRESTNOSTEJ PROSTRANSTWA X , KOTOROE ZAINDEKSIROWANO
MNOVESTWOM WSEH RACIONALXNYH ^ISEL I UDOWLETWORQET ():
                                     64

Страницы