Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 65 стр.

    nETRUDNO WIDETX, ^TO FORMULOJ
                     f (x) = inf fq : x 2 Oq g GDE x 2 X
KORREKTNO OPREDELENA FUNKCIQ f : X ;! 0 1]. tAK KAK F0 O0, TO
f (F0 ) = f0g. eSLI x 2 F1, TO, POSKOLXKU F1 X r O1, IMEEM RAWENSTWO
fq : x 2 Oq g = Q \ (1 +1), I, SLEDOWATELXNO, f (x) = 1.
    oSTALOSX DOKAZATX NEPRERYWNOSTX POSTROENNOJ FUNKCII f .
    pUSTX x0 2 X I f (x0 ) = y0. zAFIKSIRUEM " > 0. w SILU () x0 2 Oq
PRI L@BOM q > y0 I x0 2= Oq PRI L@BOM q < y0. wYBEREM RACIONALXNYE
^ISLA p I r, UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWU
                          y0 ; " < p < y0 < r < y0 + ":
tOGDA x0 LEVIT W OTKRYTOM MNOVESTWE U := Or n Op. eSLI x 2 U , TO
x 2 Or . zNA^IT, r 2 fq : x 2 Oq g I f (x) 6 r. iZ TOGO, ^TO x 2= Op, SLEDUET,
^TO p 2= fq : x 2 Oq g. pO\TOMU p 6 f (x). tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ f NE-
PRERYWNA W TO^KE x0 . wWIDU PROIZWOLXNOSTI WYBORA \TOJ TO^KI POLU^AEM
NEPRERYWNOSTX POSTROENNOJ FUNKCII NA WSEM PROSTRANSTWE X .
    9.2. zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO W LEMME uRYSONA NE UTWERVDAETSQ,
^TO f ;1(f0g) = F0  A f ;1(f1g) = F1 :
    9.3. zAME^ANIE. w SLU^AE METRI^ESKOGO PROSTRANSTWA (M d) UTWERV-
DENIE TEOREMY 9.1 DOKAZYWAETSQ NEPOSREDSTWENNYM UKAZANIEM FUNKCII
                           f (x) := d(x Fd()x+Fd0()x F ) 
                                           0             1
GDE d(x Fi) := inf fd(x y) : y 2 Fig | RASSTOQNIE OT TO^KI x DO MNOVESTWA
Fi  i = 0 1.
    9.4. sLEDSTWIE. dLQ L@BYH DWUH ZAMKNUTYH NEPERESEKA@]IHSQ POD-
MNOVESTW F0 I F1 NORMALXNOGO PROSTRANSTWA X I L@BYH DWUH DEJST-
WITELXNYH ^ISEL a I b, GDE a 6 b, SU]ESTWUET NEPRERYWNAQ FUNKCIQ
f : X ;! a b], RAWNAQ a NA F0 I b NA F1.
    dOKAZATELXSTWO. pUSTX f | FUNKCIQ, UDOWLETWORQ@]AQ TREBOWANI-
QM TEOREMY 9.1. tOGDA FORMULA g(x) = (b ; a)f (x) + a ZADAET ISKOMU@
FUNKCI@.
    9.5. oPREDELENIQ. pUSTX DLQ NEPRERYWNOGO OTOBRAVENIQ f : Z ;            !
Y , OPREDELENNOGO NA PODPROSTRANSTWE Z PROSTRANSTWA X , SU]ESTWUET NE-
PRERYWNOE OTOBRAVENIE F : X ;! Y , TAKOE, ^TO F jZ = f , T.E. OGRANI^ENIE
F NA Z SOWPADAET S f . tOGDA GOWORQT, ^TO f NEPRERYWNO PRODOLVAETSQ
                                     65