Элементы общей топологии. Гумеров Р.Н. - 81 стр.

NOSTX X SLEDUET IZ TOGO FAKTA, ^TO NEPRERYWNYJ OBRAZ KOMPAKTNOGO
PROSTRANSTWA KOMPAKTEN (SM. 10.16).
    tEPERX PREDPOLOVIM, ^TO WSE PROSTRANSTWA X
 KOMPAKTNY. dOKAVEM
KOMPAKTNOSTX IH TOPOLOGI^ESKOGO PROIZWEDENIQ. dLQ \TOGO RASSMOTRIM
 Q X
. zAFIKSIROWAW
PROIZWOLXNU@     UNIWERSALXNU@ NAPRAWLENNOSTX (x
)
2
 W PROSTRANSTWE
                        PROIZWOLXNYJ INDEKS  2 , O^EWIDNO, MY IME-

2

EM UNIWERSALXNU@ NAPRAWLENNOSTX (p(x
 ))
2
 W PROSTRANSTWE X. pO-
SKOLXKU PROSTRANSTWO X KOMPAKTNO, TO PO TEOREME 10.13 NAPRAWLENNOSTX
(p (x
 ))
2
 SHODITSQ K NEKOTOROJ TO^KE xQ W PROSTRANSTWE X . oBOZNA-
^IM ^EREZ x TAKU@ TO^KU PROSTRANSTWA X
, ^TO p
 (x) = x
 DLQ WSEH
                                         
2


 2 . tAK KAK DLQ KAVDOGO INDEKSA  2  NAPRAWLENNOSTX (p(x
 ))
2

                                            Q , ^TO NAPRAWLENNOSTX
SHODITSQ K p (x), TO PO TEOREME 12.11 ZAKL@^AEM
(x
 )
2
 SHODITSQ K TO^KE x W PROSTRANSTWE X
 . tAKIM OBRAZOM, WSQKAQ
                                           
2

UNIWERSALXNAQ NAPRAWLENNOSTX W TOPOLOGI^ESKOM     PROIZWEDENII SHODITSQ.
             Q E]E RAZ TEOREMOJ 10.13, POLU^AEM KOMPAKTNOSTX PRO-
wOSPOLXZOWAWISX
STRANSTWA X
.
          
2

   12.13. zAME^ANIE. ~ITATELX, PO-WIDIMOMU, ZADALSQ SLEDU@]IM WO-
PROSOM. pO^EMU NA DEKARTOWOM PROIZWEDENII PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA
PROSTRANSTW NE WWESTI TOPOLOGI@ ANALOGI^NO SLU^A@ PROIZWEDENIQ KO-
               Q TOPOLOGI^ESKIH PROSTRANSTW? tO ESTX W DEKARTOWOM
NE^NOGO SEMEJSTWA
PROIZWEDENII X
 W KA^ESTWE BAZY TOPOLOGII WZQTX SEMEJSTWO WSEWOZ-
              
2
       Q
MOVNYH MNOVESTW WIDA O
, GDE O
 QWLQETSQ PROIZWOLXNYM OTKRYTYM
                       
2

PODMNOVESTWOM PROSTRANSTWA X
 DLQ KAVDOGO INDEKSA 
 2 . |TO SEMEJ-
STWO DEJSTWITELXNO QWLQETSQ BAZOJ TOPOLOGII. pOROVDAEMAQ E@ TOPOLO-
GIQ NAZYWAETSQ Q]I^NOJ TOPOLOGIEJ. iZ OPISANIQ BAZ Q]I^NOJ I TIHO-
NOWSKOJ TOPOLOGIJ NEMEDLENNO SLEDUET, ^TO Q]I^NAQ TOPOLOGIQ, WOOB]E
GOWORQ, SILXNEE TOPOLOGII PROIZWEDENIQ. hOTQ NEKOTORYE FAKTY IME@T
MESTO KAK DLQ TIHONOWSKOJ, TAK I DLQ Q]I^NOJ TOPOLOGIJ (NAPRIMER, ES-
LI KAVDYJ IZ SOMNOVITELEJ QWLQETSQ HAUSDORFOWYM PROSTRANSTWOM, TO
I DEKARTOWO PROIZWEDENIE HAUSDORFOWO), WSE-TAKI \TI TOPOLOGII SU]EST-
WENNO RAZLI^A@TSQ. pREVDE WSEGO SLEDUET OTMETITX, ^TO DLQ Q]I^NOJ
TOPOLOGII NE IMEET MESTA ANALOG TEOREMY tIHONOWA.
   12.14. pRIMER. rASSMOTRIM MNOVESTWO R
                                                 N | DEKARTOWO PROIZWEDE-
NIE S^ETNOGO ^ISLA \KZEMPLQROW DEJSTWITELXNOJ OSI R . zADADIM OTOBRA-
VENIE f FORMULOJ:
                     f : R ;! R N : x 7! (x x : : : ):
                                   81