Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
Op Rel
Op Rel N M
σ h Op, Rel i σ = sgnt A
Rel = ∅ Op = ∅
f
i
∈ Op n
i
> 0 i = 1, N
r
j
∈ Rel m
j
> 0 j = 1, M
0 1
Rel
N
0
6 N
τ = h n
1
, . . . , n
N
0
, m
1
, . . . , m
M
, 0, . . . , 0 i,
N
0
= N
Op Rel
n
1
, . . . , n
N
0
m
1
, . . . , m
M
f
n
i
i
, i = 1, N
0
r
m
j
j
, j = 1, M
Op Rel
A A
A = Supp A A
A
A A
6.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ. Ìîäåëè è àëãåáðû                                               117


Ãëàâà 6
Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû
    ¾Òåîðèÿ óíèâåðñàëüíûõ àëãåáð óæå îêàçûâàåò è, íóæíî îæèäàòü, áëèæàéøåå äåñÿ-
òèëåòèÿ áóäåò îêàçûâàòü âñ¼ âîçðàñòàþùåå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå âñåé îáùåé àëãåáðû.¿
[ À.Ã. Êóðîø. ¾Êóðñ îáùåé àëãåáðû¿ ].


6.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ. Ìîäåëè è àëãåáðû
   Ìû óæå ïîëüçîâàëèñü îäíèì èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè  ïî-
íÿòèåì àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû (ÀÑ). Íåôîðìàëüíî, ÀÑ  ýòî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ñ
îïðåäåë¼ííûìè íà í¼ì îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèÿìè. Äëÿ ôîðìàëüíîãî çàäàíèÿ ÀÑ A
îïðåäåëèì ñîñòàâëÿþùèå å¼ ýëåìåíòû.
   Ïóñòü Op è Rel  íåêîòîðûå íåïóñòûå îäíîâðåìåííî è íå èìåþùèå îáùèõ ýëåìåí-
òîâ ñîâîêóïíîñòè ñèìâîëîâ ïðîèçâîëüíûõ îïåðàöèé è îòíîøåíèé ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè
îáà óêàçàííûå ìíîæåñòâà êîíå÷íû, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçû-
âàåòñÿ ÀÑ êîíå÷íîãî òèïà. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå ñèñòåìû. Ìîùíîñòè
ìíîæåñòâ Op è Rel îáîçíà÷èì N è M ñîîòâåòñòâåííî.
   Ñèãíàòóðà σ åñòü óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà h Op, Rel i, ñèìâîëè÷åñêè σ = sgnt A. Åñëè
Rel = ∅, òî ÀÑ íàçûâàþò (óíèâåðñàëüíîé) àëãåáðîé, à åñëè Op = ∅  òî ðåëÿöèîííîé
ñèñòåìîé èëè ìîäåëüþ.
   Êàæäîìó ýëåìåíòó fi ∈ Op ñîïîñòàâëåíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî ni > 0, i = 1, N , à
ýëåìåíòó rj ∈ Rel  öåëîå ÷èñëî mj > 0, j = 1, M , âûðàæàþùåå ¾ìåñòíîñòü¿ èëè
¾àðíîñòü¿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèîíàëüíîãî èëè ïðåäèêàòíîãî ñèìâîëà. Íóëüàðíûå
îòíîøåíèÿ íå âêëþ÷àþò â ñèãíàòóðó (òàêîâûõ òîëüêî äâà: ýòî ëîãè÷åñêèå êîíñòàíòû
¾èñòèíà¿ (0) è ¾ëîæü¿ (1), è îíè íåÿâíî ïðèñóòñòâóþò â êàæäîé ÀÑ ñ íåïóñòûì ìíîæå-
ñòâîì Rel).
   Ñèãíàòóðíûì îïåðàöèÿì ñ íóëåâûìè àðíîñòÿìè ñîîòâåòñòâóþò ôèêñèðîâàííûå ýëå-
ìåíòû îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàöèè ñ íåíóëåâûìè àðíîñòÿìè
èìåþò íîìåðà ñ 1 ïî N 0 6 N . Ìåñòíîñòè ñèãíàòóðíûõ îïåðàöèé è îòíîøåíèé çàïèñûâàþò
â âèäå êîðòåæà
                       τ = h n1 , . . . , nN 0 , m1 , . . . , mM , 0, . . . , 0 i,
êîòîðûé íàçûâàþò òèïîì ÀÑ (ïðè N 0 = N çàêëþ÷èòåëüíûå íóëè îòñóòñòâóþò). Åñ-
ëè îãîâàðèâàþò, ÷òî çàäàåòñÿ àëãåáðà èëè ìîäåëü, òî èõ òèïû çàïèñûâàþò, ïåðå÷èñëÿÿ
àðíîñòè ëèøü ýëåìåíòîâ èç Op èëè, ñîîòâåòñòâåííî, èç Rel.
      Ïðè çàäàíèè òèïà, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè àðíîñòåé n1 , . . . , nN 0 è m1 , . . . , mM ïðèíÿ-
òî óïîðÿäî÷èâàòü òàê, ÷òîáû îíè îêàçàëèñü íåâîçðàñòàþùèìè. Çàäàâàÿ ñèãíàòóðó, å¼
ýëåìåíòû ïåðå÷èñëÿþò â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííîé óïîðÿäî÷åííîñòüþ. Åñëè íåîáõî-
äèìî ÿâíî óêàçûâàòü àðíîñòè ýëåìåíòîâ, èõ çàïèñûâàþò â êà÷åñòâå âåðõíèõ èíäåêñîâ:
                     m
fini , i = 1, N 0 , rj j , j = 1, M .
      Ðàññìîòðèì òåïåðü íå èìåþùåå îáùèõ ýëåìåíòîâ ñ Op è Rel íåïóñòîå ìíîæåñòâî
A. Îíî áóäåò íàçûâàòüñÿ íîñèòåëåì èëè îñíîâíûì ìíîæåñòâîì ÀÑ A, ñèìâîëè÷åñêè
A = Supp A. Åñëè A  êîíå÷íî, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ
êîíå÷íîé.
      Ñîâîêóïíîñòè âñåõ îïåðàöèé è îòíîøåíèé, êîòîðûå ìîæíî îïðåäåëèòü íà A áóäåì
îáîçíà÷àòü Op A è Rel A ñîîòâåòñòâåííî. Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî  î÷åíü ìîùíûå ìíîæåñòâà,

Страницы