Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
4
A
4
V ~x
f
1
(~a,
~
b) = ~a +
~
b , f
2
(~a,
~
b) = ~a ×
~
b , f
3
(~a) = −~a
r(~a,
~
b) 7→ ~a
~
b , c
1
, c
2
7→
~
0.
f
1
, f
2
, f
3
r
1
h A, f i f A
h R, +, ·, −, 0, 1 i h 2, 2, 1, 0, 0 i
h +, ·, −,
−1
, 0, 1 i
−1
K σ = h ·, +, −, 0, 1 i
h 2, 2, 1, 0, 0 i
h 2, 1, 0 i σ = h ◦,
−1
, e i
h P, ≤ i ≤
h 2 i
M σ
Σ σ σ M
Σ Σ
h t, u,
0
, o, ι i
h 2, 2, 1, 0, 0 i
◦ (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
h +, ·, −, 0, 1 i h 2, 2, 1, 0, 0 i Σ
(x + y) + z = x + (y + z) x + 0 = 0 + x = x
x + (−x) = 0 x + y = y + x
(x + y)z = xz + yz x(y + z) = xy + xz
(xy)z = x(yz) x1 = 1x = x
xy = yx
f
n
i
(x
1
, . . . , x
n
) r
n+1
i
(x
1
, . . . , x
n
, x
n+1
)
r
n+1
i
(x
1
, . . . , x
n
, y) ⇔ f
n
i
(x
,
. . . , x
n
) = y
h Z, +, −, 0 i
r
3
1
(m, n, k) ≡ (m + n = k), r
2
2
(m, n) ≡ (m = −n), r
1
3
(n) ≡ (n = 0),
h Z, r
3
1
, r
2
2
, r
1
3
i
6.2. Ïîäñèñòåìû. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ÀÑ                                                          119


A4 : Íîñèòåëü ÀÑ A4 åñòü ìíîæåñòâî V âñåõ âåêòîðîâ ~x òð¼õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, à
     ñèãíàòóðíûå ñèìâîëû èíòåðïðåòèðóþòñÿ òàê:
                           f1 (~a, ~b) = ~a + ~b , f2 (~a, ~b) = ~a × ~b , f3 (~a) = −~a
                   r(~a, ~b) 7→ ¾âåêòîð ~a êîëëèíåàðåí âåêòîðó ~b¿ , c1 , c2 7→ ~0.

    Îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ âî âñåõ ïðèâåä¼ííûõ ïðèìåðàõ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèãíàòóð-
íûì ñèìâîëàì f1 , f2 , f3 è r1 áóäóò îäíîèì¼ííûìè. Âåçäå ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ââåäåí-
íûå îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ èìåþò îáû÷íûé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë.
    Ïðèâåä¼ì ïðèìåðû êîíêðåòíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ðàçëè÷íîé ñèãíàòóðû.
Ïðèìåð 6.2.       1. AC h A, f i, ãäå f  îäíîìåñòíàÿ îïåðàöèÿ íà ìíîæåñòâå A íàçûâà-
      åòñÿ óíàðîì.
   2. Ïîëå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë h R, +, ·, −, 0, 1 i åñòü àëãåáðà òèïà h 2, 2, 1, 0, 0 i. Çà-
      ìåòèì, ÷òî êîðòåæ h +, ·, −, −1 , 0, 1 i íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ñèãíàòóðó ïîëÿ,
      ò.ê. îïåðàöèÿ −1 íå îïðåäåëåíà äëÿ íóëÿ.
      Êîëüöî K ñ åäèíèöåé åñòü àëãåáðà ñèãíàòóðû σ = h ·, +, −, 0, 1 i òèïà
      h 2, 2, 1, 0, 0 i.
      Ãðóïïà åñòü àëãåáðà òèïà h 2, 1, 0 i ñèãíàòóðû σ = h ◦, −1 , e i.
   3. ×àñòè÷íî ïðåäóïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî h P, ≤ i, ãäå ≤  ñèìâîë ïðåäïîðÿäêà
      åñòü ìîäåëü òèïà h 2 i.
   4. Åñëè îäíà ÀÑ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç äðóãîé óäàëåíèåì íåêîòîðûõ îïåðàöèé,
      îòíîøåíèé èëè êîíñòàíò, òî ïåðâàÿ ÀÑ íàçûâàåòñÿ ðåäóêòîì âòîðîé.
    Âî âñåõ ïðèâåä¼ííûõ âûøå ïðèìåðàõ ñ÷èòàëîñü, ÷òî ïðèâåä¼ííûå îïåðàöèè è îò-
íîøåíèÿ îáëàäàþò èçâåñòíûìè ñâîéñòâàìè.  îáùåì ñëó÷àå ýòè ñâîéñòâà íåîáõîäèìî
çàäàâàòü.
    Ñîâîêóïíîñòü ÀÑ ôèêñèðîâàííîé ñèãíàòóðû íàçûâàåòñÿ êëàññîì àëãåáðàè÷åñêèõ ñè-
ñòåì. Êëàññ M ÀÑ ñèãíàòóðû σ íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî
Σ òîæäåñòâ ñèãíàòóðû σ òàêîå, ÷òî ÀÑ ñèãíàòóðû σ ïðèíàäëåæèò êëàññó M åñëè è
òîëüêî åñëè â íåé âûïîëíÿþòñÿ âñå òîæäåñòâà Σ. Ñîâîêóïíîñòü òîæäåñòâ Σ íàçûâàþò
àêñèîìàòèêîé äàííîãî êëàññà.
Ïðèìåð 6.3.       1. Áóëåâà àëãåáðà  ìíîãîîáðàçèå ñèãíàòóðû h t, u, 0 , o, ι i òèïà
      h 2, 2, 1, 0, 0 i, îïðåäåëÿåìîé ñèñòåìîé àêñèîì, ïðèâåä¼ííîé â îïðåäåëåíèè 1.1.
   2. Ïîëóãðóïïû  ýòî ìíîãîîáðàçèÿ ñèãíàòóðû, ñîñòîÿùåé èç åäèíñòâåííîé áèíàðíîé
      îïåðàöèè ◦, óäîâëåòâîðÿþùèå òîæäåñòâó (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
   3. Àññîöèàòèâíî-êîììóòàòèâíûå êîëüöà ñ åäèíèöåé  ýòî ìíîãîîáðàçèÿ ñèãíàòóðû
      h +, ·, −, 0, 1 i òèïà h 2, 2, 1, 0, 0 i óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì òîæäåñòâàì Σ :
                  (x + y) + z = x + (y + z);       x + 0 = 0 + x = x;
                  x + (−x) = 0;                    x + y = y + x;
                  (x + y)z = xz + yz ;             x(y + z) = xy + xz ;
                  (xy)z = x(yz);                   x1 = 1x = x;
                  xy = yx.
   Îòìåòèì, ÷òî ïðîèçâîëüíîé àëãåáðå ìîæíî ñîïîñòàâèòü àäåêâàòíóþ åé ìîäåëü, åñ-
ëè êàæäóþ îïåðàöèþ âèäà fin (x1 , . . . , xn ) çàìåíèòü íà îòíîøåíèå rin+1 (x1 , . . . , xn , xn+1 )
òàêîå, ÷òî rin+1 (x1 , . . . , xn , y) ⇔ fin (x, . . . , xn ) = y . Òàêàÿ ìîäåëü íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâ-
ëÿþùåé.
Ïðèìåð 6.4. Ïóñòü çàäàíà ãðóïïà h Z, +, −, 0 i. Åñëè
           r13 (m, n, k) ≡ (m + n = k), r22 (m, n) ≡ (m = −n), r31 (n) ≡ (n = 0),
òî h Z, r13 , r22 , r31 i áóäåò ïðåäñòàâëÿþùåé ìîäåëüþ äëÿ äàííîé ãðóïïû.

Страницы