Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A = h {a
1
, a
1
, . . . , a
n
}, f
1
i f
1
(a
i
) = a
i+1
i = 1, 2, . . . , n−1
f
1
1
(a
n
) = a
0
A
h N, + i = h [1], + i
h N, · i
h nZ, + i h mZ, + i n m h Z, + i
n m nZ ∪ mZ
n = 6 m = 10 { 0, ±6, ±10, ±12, ±20, . . . }
4 = 10 − 6 h nZ ∪ mZ, + i
S A
A S
R
(−n, n) n ∈ N
A = h A, Op A, Rel A i
{A
i
⊆ A | i ∈ I}
A h
S
i∈I
A
i
, Op A, Rel A i 6 A
U =
S
i∈I
A
i
Op A
n f Op A
(a
1
, . . . , a
n
) = a a ∈ U
A
i
⊆ U {a ∪ f(a)} ∈ A
i
U f
¤
Sub A A
A
1
, A
2
∈ A
inf { A
1
, A
2
} = A
1
∩ A
2
sup { A
1
, A
2
} = [ A
1
∪ A
2
]
Sub A
h Z, + i h nZ, + i h mZ, + i
h [ m ∧ n ], + i h 6Z, + i h 10Z, + i h 2Z, + i
A
1
A
2
σ A
1
A
2
A = A
1
× A
2
A
f
1
f
2
r
1
r
2
m A
1
6.2. Ïîäñèñòåìû. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ÀÑ                                                         121


Ïðèìåð 6.6.      1. Ïîäêîëüöî ÷¼òíûõ êîëüöà öåëûõ ÷èñåë ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì 2.
  2. Ïóñòü A = h {a1 , a1 , . . . , an }, f1 i  óíàð, ãäå f1 (ai ) = ai+1 äëÿ i = 1, 2, . . . , n−1
     è f11 (an ) = a0 . Òîãäà A ïîðîæäàåòñÿ ëþáûì ýëåìåíòîì ñâîåãî íîñèòåëÿ.
  3. h N, + i = h [1], + i.
  4. ÀÑ h N, · i íå åñòü êîíå÷íîïîðîæä¼ííàÿ àëãåáðà.
   Èòàê, íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ïîäñèñòåì ÀÑ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ å¼ ïîäñèñòåìîé. Îáúåäè-
íåíèå ïîäñèñòåì ÀÑ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîäñèñòåìîé íå ÿâëÿåòñÿ, ÷òî ïîêàçûâàåò íèæåñëå-
äóþùèé
Ïðèìåð 6.7. h nZ, + i è h mZ, + i ïðè ëþáûõ öåëûõ n è m ñóòü ïîäñèñòåìû h Z, + i,
îäíàêî ïðè íåêðàòíûõ äðóã äðóãó n è m ìíîæåñòâî nZ ∪ mZ íåóñòîé÷èâî ïî îòíîøåíèþ
ê ñëîæåíèþ (íàïðèìåð, ïðè n = 6 è m = 10 ìíîæåñòâî { 0, ±6, ±10, ±12, ±20, . . . } íå
ñîäåðæèò ýëåìåíòà 4 = 10 − 6), è â ýòîì ñëó÷àå h nZ ∪ mZ, + i â ñèëó íåóñòîé÷èâîñòè
íîñèòåëÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè, äàæå íå åñòü ÀÑ.
   Íèæå ñôîðìóëèðîâàíî óñëîâèå, êîãäà îáúåäèíåíèå ïîäñèñòåì áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîäñè-
ñòåìîé.
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ñîâîêóïíîñòü S ïîäìíîæåñòâ A íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé, åñëè ëþáîå
êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî A ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì ýëåìåíòå S .

   Ïðèìåðîì ëîêàëüíîé ïîäñèñòåìû ìíîæåñòâà R ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü èíòåðâàëîâ
âèäà (−n, n), n ∈ N.
Òåîðåìà 6.2 (Îá îáúåäèíåíèè ïîäñèñòåì ÀÑ). Ïóñòü A = h A, Op A, Rel A i 
àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà    S è {Ai ⊆ A | i ∈ I}  ëîêàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ å¼
íîñèòåëÿ A. Òîãäà h i∈I Ai , Op A, Rel A i 6 A.
                                                                          S
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ëèøü óñòîé÷èâîñòü ìíîæåñòâà U = i∈I Ai îòíîñè-
òåëüíî îïåðàöèé èç Op A, ïîñêîëüêó âñå îñòàëüíûå ñâîéñòâà ïîëó÷åííîé ñèñòåìû áóäóò
íàñëåäîâàòüñÿ îò èñõîäíîé.
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ n-ìåñòíóþ îïåðàöèþ f èç Op A. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íà-
áîðà (a1 , . . . , an ) = a èìååì: ñ îäíîé ñòîðîíû, a ∈ U , à ñ äðóãîé  íàéäåòñÿ òàêîå
ìíîæåñòâî Ai ⊆ U , ÷òî {a ∪ f (a)} ∈ Ai . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî U óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî f .
¤

   Òàêèì îáðàçîì, óñòîé÷èâîñòü íà îáúåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ëîêàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñëå-
äóåò èç òîãî, ÷òî îïåðàöèè îïðåäåëåíû íàä êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì àðãóìåíòîâ.
   Âûøå ìû îòìå÷àëè, ÷òî ñîâîêóïíîñòü Sub A âñåõ ïîäñèñòåì ÀÑ A åñòü ÷.ó. ìíî-
æåñòâî. Áîëåå òîãî, îíî ðåø¼òî÷íî óïîðÿäî÷åíî, åñëè äëÿ ÀÑ áåç ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ
ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàòü óñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ îïåðàöèé. Òîãäà ïå-
ðåñå÷åíèå ïîäñèñòåì âñåãäà åñòü ïîäñèñòåìà (âîçìîæíî ïóñòàÿ), è äëÿ A1 , A2 ∈ A ìîæíî
ïîëîæèòü inf { A1 , A2 } = A1 ∩ A2 . Äàëåå ïîëîæèì sup { A1 , A2 } = [ A1 ∪ A2 ]. Äàëåå, ïî-
ñêîëüêó êîëüöî ìíîæåñòâ  ïîëíàÿ ðåø¼òêà, òî è Sub A îêàçûâàåòñÿ ïîëíîé ðåø¼òêîé
(ñì. ñ. 77).
Ïðèìåð 6.8. Ïðîäîëæàÿ ðàññìîòðåíèå ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà îòìåòèì, ÷òî íàèìåíü-
øåé ïîäñèñòåìîé ÀÑ h Z, + i, ñîäåðæàùåé å¼ ïîäñèñòåìû h nZ, + i è h mZ, + i áóäåò
h [ m ∧ n ], + i. Íàïðèìåð, äëÿ h 6Z, + i è h 10Z, + i ýòî h 2Z, + i.
   Åñëè A1 è A2  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ àáñòðàêòíîé ñèãíàòóðû σ ñ íîñèòåëÿìè A1
è A2 ñîîòâåòñòâåííî, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå A = A1 × A2 , òàêæå
ÿâëÿþùååñÿ ÀÑ. Ñèãíàòóðà ÀÑ A áóäåò ñîñòîÿòü èç òàêîãî æå ÷èñëà òåõ æå ñèìâîëîâ
îïåðàöèé è îòíîøåíèé, íî ìåñòíîñòè ñèìâîëîâ óäâàèâàþòñÿ. Ïóñòü f1 è f2  îäíîèì¼í-
íûå îïåðàöèè ìåñòíîñòè , à r1 è r2  îäíîèì¼ííûå îòíîøåíèÿ àðíîñòè m , èç A1 è

Страницы