Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
)) ⇒
⇒
∃
A
x
1
, . . . , x
m
£¡
ϕ(a
k
) = ϕ(x
k
), k = 1, m
¢
N r(x
1
, . . . , x
m
)
¤
;
r(a
1
, . . . , a
m
) ≡ r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ (a
m
)) .
ϕ
ϕ
h 1 i h {a
1
, a
2
}, r i h {b}, r
0
i
ϕ A B ϕ(a
1
) = ϕ(a
2
) = b
r
0
(b) = 1
r(a
1
) = r(a
2
) = 0 ϕ
r(a
1
) = 1 r(a
2
) = 0 ϕ
r(a
1
) = r(a
2
) = 1 ϕ
( r, r
0
)
A B ϕ : A → B
A B ϕ
A B ϕ
A B ϕ
A B ϕ
A B
A B A
∼
=
B
A = h Z, < i
B = h 2Z, 6 i ϕ(n) = 2 n
A B ϕ
< 6
A × B A B
π
1
(a, b) = a π
2
(a, b) = b A × B A B
π
1
π
2
h Z, 6 i
∼
=
h 2Z, 6 i Z
2
2
∼
=
V
4
r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ (a
n
)) A b
1
, . . . , b
m
ϕ
]
(0)
r(b
1
, . . . , b
m
) r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ (a
n
))
¡
¢
r(b
1
, . . . , b
m
)
r
0
r
ϕ
6.3. Ãîìîìîðôèçìû ÀÑ                                                                                   123


  2) ñèëüíî ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îòíîøåíèÿìè, åñëè

        r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ⇒
                                               £¡                        ¢                     ¤
                            ⇒ ∃ x1 , . . . , xm ϕ(ak ) = ϕ(xk ), k = 1, m N r(x1 , . . . , xm ) ; (6.3)
                            A

  3) ïîëíîñòüþ (èëè òîæäåñòâåííî ) ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îòíîøåíèÿìè, åñëè
                                 r(a1 , . . . , am ) ≡ r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) .

      Åñëè îòîáðàæåíèå ϕ îêàæåòñÿ (ñèëüíî, òîæäåñòâåííî) ñîãëàñîâàííûì ñî âñåìè ïàðà-
ìè îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé äâóõ ÀÑ, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ϕ (ñèëüíî, òîæäåñòâåííî)
ñîãëàñîâàííî ñ îòíîøåíèÿìè ýòèõ îäíîòèïíûõ ÀÑ.
Ïðèìåð 6.11. Ðàññìîòðèì äâå ìîäåëè òèïà h 1 i: h {a1 , a2 }, r i è h {b}, r 0 i. Åäèíñòâåííîå
âîçìîæíîå îòîáðàæåíèå ϕ èç A íà B çàäà¼òñÿ ðàâåíñòâàìè ϕ(a1 ) = ϕ(a2 ) = b. Ïóñòü
r 0 (b) = 1. Òîãäà
  1) åñëè r(a1 ) = r(a2 ) = 0, òî ϕ ñîãëàñîâàííî,
  2) åñëè r(a1 ) = 1 è r(a2 ) = 0, òî ϕ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî,
  3) åñëè r(a1 ) = r(a2 ) = 1, òî ϕ òîæäåñòâåííî ñîãëàñîâàííî
ñ ïàðîé ( r, r 0 ) îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ ìîäåëåé.
Îïðåäåëåíèå 6.5. Ïóñòü A è B  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ. Òîãäà îòîáðàæåíèå ϕ : A → B ,
ñîãëàñîâàííîå ñ îïåðàöèÿìè ýòèõ ÀÑ íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî
  1) ãîìîìîðôèçìîì èç A â B, åñëè ϕ ñîãëàñîâàííî;
  2) âçàèìíîîäíîçíà÷íûì (èëè áèåêòèâíûì ) ãîìîìîðôèçìîì ìåæäó A è B, åñëè ϕ 
     áèåêöèÿ, ñîãëàñîâàííàÿ;
  3) ñèëüíûì ãîìîìîðôèçìîì èç A â B, åñëè ϕ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî;
  4) èçîìîðôèçìîì ìåæäó A è B, åñëè ϕ  áèåêöèÿ, ïîëíîñòüþ ñîãëàñîâàííàÿ
ñ îòíîøåíèÿìè ýòèõ ÀÑ.
   Âìåñòî òåðìèíà ¾ñèëüíûé¿ äëÿ ãîìîìîðôèçìà èíîãäà óïîòðåáëÿþò òåðìèí ñòðîãèé.
Äëÿ àëãåáð ïîíÿòèå ñèëüíîãî ãîìîìîðôèçìà îòñóòñòâóåò, à âçàèìíîîäíîçíà÷íûé ãîìî-
ìîðôèçì âñåãäà åñòü èçîìîðôèçì. ÀÑ A è B íàçûâàþò èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò
èçîìîðôèçì ìåæäó A è B, ÷òî çàïèñûâàþò êàê A ∼      = B. Ïîíÿòíî, ÷òî òîæäåñòâåííîå
îòîáðàæåíèå ëþáîé ÀÑ íà ñåáÿ åñòü èçîìîðôèçì.
Ïðèìåð 6.12.    1. Ìîäåëü A = h Z, < i íå èçîìîðôíà, à ëèøü áèåêòèâíî ãîìîìîðôíà
     ìîäåëè B = h 2Z, 6 i: îòîáðàæåíèå ϕ(n) = 2 n åñòü âçàèìíîîäíîçíà÷íûé ãîìî-
     ìîðôèçì èç A â B. Îí íå ñèëüíûé, ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ϕ ñîãëàñîâàííî, íî íå
     òîæäåñòâåííî ñîãëàñîâàííî ñ îòíîøåíèÿìè < è 6.
  2. Äëÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ A × B àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì A è B îïðåäåëåíû
     îòîáðàæåíèÿ π1 (a, b) = a è π2 (a, b) = b èç A × B íà A è B ñîîòâåòñòâåííî.
     Èç îïðåäåëåíèÿ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî âèäíî, ÷òî π1 è π2 ñóòü
     ñèëüíûå ãîìîìîðôèçìû.
  3. h Z, 6 i ∼
              = h 2Z, 6 i; Z22 ∼
                               = V4 (÷åòâåðíàÿ ãðóïïà Êëåéíà).
Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì âàæíîå ñâîéñòâî ñèëüíûõ ãîìîìîðôèçìîâ, êîòîðîå íàì ïîíàäîáèòñÿ
â äàëüíåéøåì. Ñîîòíîøåíèå (6.3) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî åñëè (â ââåä¼ííûõ îáîçíà÷å-
íèÿõ) ñïðàâåäëèâî r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )), òî â A íàéäóòñÿ òàêèå b1 , . . . , bm èç ÿäðà ϕ ] (0),
÷òî ñïðàâåäëèâî r(b1 , . . . , bm ), è, òàêèì îáðàçîì, r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) ¡¢ r(b1 , . . . , bm ).
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìû ñîõðàíèëè èñòèííîñòü íà íåêîòîðîì ïîäìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ,
ñâÿçàííûõ îòíîøåíèåì r 0 , ïåðåõîäÿ îò íåãî ê îäíîèìåííîìó îòíîøåíèþ r ïðè äâèæå-
íèè ïðîòèâ îòîáðàæåíèÿ ϕ.

Страницы