Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A r(a
1
, . . . , a
m
)
¡
¢
r(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
))
(0, 0), (0, 1), (1, 1)
A
d ϕ
d
r(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
))
ϕ t
r(ϕ
t
(a
1
), . . . , ϕ
t
(a
m
)) t = d r(a
1
, . . . , a
m
)
r(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
))
¡
¢
r(a
1
, . . . , a
m
) (0, 1)
r ϕ
Rel A ¤
ρ A
f n A n > 0
a
1
, a
1
0
, . . . , a
n
, a
n
0
∈ A
n
i=1
(a
i
ρ a
i
0
) ⇒ f(a
1
, . . . , a
n
) ρ f(a
1
0
, . . . , a
n
0
) ,
n = 0 ρ
ρ h A, Op A, Rel A i
Op A O
M
A A
2
Con A Con A
o ι
A h Z, · i
≡
2
Z
A
½
k ≡
2
m
l ≡
2
n
⇒ kl ≡
2
mn,
≡
2
A
2
= h Z
2
, · i (k, l) · (m, n) = (k m, ln)
mod 2
h { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }, · i 6 A
2
.
≡
2
≡
4
A ≡
4
⊆≡
2
≡
m
⊆ ≡
n
n | m
6.4. Êîíãðóýíöèè è ôàêòîðñèñòåìû                                                                 125


A èñòèíà èìïëèêàöèÿ r(a1 , . . . , am ) ¡¢ r(ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )), ò.å. äëÿ å¼ ïîñûëêè è çàêëþ-
÷åíèÿ ìîãóò èìåòü ìåñòî òîëüêî ñëåäóþùèå ïàðû èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé ïîñûëêè è
çàêëþ÷åíèÿ: (0, 0), (0, 1), (1, 1). Òåîðåìà áóäåò äîêàçàíà, åñëè âûÿñíèòñÿ, ÷òî âòîðîé
ñëó÷àé â íàøèõ óñëîâèÿõ íå ðåàëèçóåòñÿ.
   Íàëîæåíèå ìíîæåñòâà íà ñåáÿ ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé è, â ñèëó êîíå÷íîñòè A, ïåðåñòà-
íîâêîé åãî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîé ñòåïåíè. Òîãäà ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå d òàêîå, ÷òî ϕ d
åñòü òîæäåñòâåííàÿ ïåðåñòàíîâêà. Ïóñòü îòíîøåíèå r(ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) âûïîëíåíî. Îò-
ñþäà ñëåäóåò, ÷òî, ïîñêîëüêó ϕ  ãîìîìîðôèçì, äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî t âûïîëíåíî
r(ϕ t (a1 ), . . . , ϕ t (am )). Ïðè t = d ïîëó÷àåì, ÷òî âûïîëíåíî è r(a1 , . . . , am ). Òàêèì îáðà-
çîì, r(ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ¡¢ r(a1 , . . . , am ), è ñëó÷àé (0, 1) íåâîçìîæåí.
   B ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè r ìû ïîêàçàëè òîæäåñòâåííóþ ñîãëàñîâàííîñòü ϕ ñî âñåìè
îòíîøåíèÿìè èç Rel A.                                                                               ¤




6.4 Êîíãðóýíöèè è ôàêòîðñèñòåìû
Îïðåäåëåíèå 6.6. Îäíîðîäíîå îòíîøåíèå ρ íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíûì
îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè f ìåñòíîñòè n íà A, åñëè ïðè n > 0 äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ
a1 , a1 0 , . . . , an , an 0 ∈ A ñïðàâåäëèâî
                         n

                        & (ai ρ ai0)   ⇒ f (a1 , . . . , an ) ρ f (a1 0 , . . . , an 0 ) ,
                        i=1

à ïðè n = 0  ρ ðåôëåêñèâíî.

   Ñòàáèëüíîñòü îòíîøåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî åñëè íàáîðû àðãóìåíòîâ ôóíêöèè íàõîäÿòñÿ
â äàííîì îòíîøåíèè, òî è ðåçóëüòàòû îïåðàöèè òàêæå íàõîäÿòñÿ â ýòîì îòíîøåíèè.
   Îäíîðîäíîå îòíîøåíèå ρ íà ÀÑ h A, Op A, Rel A i íàçûâàåòñÿ ñòàáèëüíûì íà ýòîé
ÀÑ, åñëè îíî ñòàáèëüíî îòíîñèòåëüíî ëþáîé îïåðàöèè èç Op A. Íàïðèìåð, ïîëíîå O è
äèàãîíàëüíîå M îòíîøåíèÿ ñòàáèëüíû íà ëþáîé ÀÑ.

Îïðåäåëåíèå 6.7. Ñòàáèëüíàÿ íà ÀÑ ýêâèâàëåíòíîñòü íàçûâàåòñÿ êîíãðóýíöèåé íà íåé.
   ßñíî, ÷òî ïîëíîå è äèàãîíàëüíîå îòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîíãðóýíöèÿìè íà ëþáîé ÀÑ.
Êîíãðóýíöèÿ íà ÀÑ A îïðåäåëÿåò ïîäñèñòåìó ÀÑ A2 . Ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîíãðóýíöèé
Con A åñòü ÷.ó. ìíîæåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ. Con A èìååò óíèâåðñàëüíûå
ãðàíè: ýòî îòìå÷åííûå âûøå äèàãîíàëü (o) è àìîðôíàÿ êîíãðóýíöèÿ (ι).
Ïðèìåð 6.13. B êà÷åñòâå ÀÑ A ðàññìîòðèì ïîëóãðóïïó h Z, · i.

   1. Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ≡2 (÷¼òíîñòè) íà ìíîæåñòâå Z åñòü êîíãðóýíöèÿ íà
      ÀÑ A. Äåéñòâèòåëüíî,     ½
                                 k ≡2 m
                                          ⇒ kl ≡2 mn,
                                 l ≡2 n
      ò.å. îòíîøåíèå ≡2 ñòàáèëüíî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ. Èìååì
      A2 = h Z2 , · i, ãäå (k, l) · (m, n) = (km, ln) è íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (äëÿ ïðîñòî-
      òû óêàçàíèå íà êëàññ mod 2 îïóñêàåì)

                               h { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) }, · i 6 A2 .

   2. Äëÿ êîíãðóýíöèé ≡2 è ≡4 íà ÀÑ A èìååì ≡4 ⊆≡2 , è âîîáùå ≡m ⊆ ≡n , åñëè n | m.

Страницы