Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ A B ϕ ∈ Hom(A, B)
A = h A, Op A, Rel A i B = h B, Op B, Rel B i
A
0
6 A B
0
6 B ϕ ∈ Hom (A, B) Im ϕ(A
0
) 6 B Im ϕ
−1
(B
0
) 6 A
A
0
B
0
ϕ
f f
0
n > 0
Op A Op B
b
1
. . . , b
n
ϕ(A
0
) ϕ(a
i
) = b
i
a
i
∈ A i = 1, n
f
0
(b
1
, . . . , b
n
) = f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)) = ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
)) ∈ ϕ(A
0
) ,
f(a
1
, . . . , a
n
) ∈ A
0
A
0
ϕ(A
0
) B
a
1
. . . , a
n
ϕ
−1
(B
0
) ϕ(a
i
) ∈ B
0
i = 1, n
ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
)) = f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)) ∈ ϕ(B
0
) ,
f(a
1
, . . . , a
n
) ∈ ϕ
−1
(B
0
) ϕ
−1
(B
0
) A ¤
A Sub A End A
Aut A End A )
h A, Op A, Rel A i A
ϕ r m Rel A
ϕ a
1
, . . . , a
m
m
124                                                                      Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


   Òî, ÷òî ϕ  ãîìîìîðôèçì èç A â B çàïèñûâàþò êàê ϕ ∈ Hom(A, B). Ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà óòâåðæäàåò, ÷òî ãîìîìîðôíûå êàê îáðàç, òàê è ïðîîáðàç ïîäñèñòåì ÀÑ òàêæå
ñóòü ïîäñèñòåìû (ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì).
Òåîðåìà 6.3. Ïóñòü A = h A, Op A, Rel A i , B = h B, Op B, Rel B i  äâå îäíîòèïíûå
ÀÑ, A 0 6 A, B 0 6 B è ϕ ∈ Hom (A, B). Òîãäà Im ϕ(A 0 ) 6 B è Im ϕ−1 (B 0 ) 6 A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íóæíî ïîêàçàòü óñòîé÷èâîñòü ãëàâíûõ îïåðàöèé è ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ
èç A 0 è B 0 íà îáðàçå è ïðîîáðàçå ϕ ñîîòâåòñòâåííî.
    Óñòîé÷èâîñòü ãëàâíûõ ýëåìåíòîâ ÀÑ îòíîñèòåëüíî ãîìîìîðôèçìîâ è âçÿòèé ïîäñè-
ñòåì î÷åâèäíà. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïàðó f , f 0 îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé ìåñòíîñòè n > 0
èç Op A è Op B ñîîòâåòñòâåííî.
    Ïóñòü b1 . . . , bn  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç ϕ(A 0 ). Òîãäà ϕ(ai ) = bi äëÿ íåêîòîðûõ
ai ∈ A, i = 1, n è

               f 0 (b1 , . . . , bn ) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) = ϕ(f (a1 , . . . , an )) ∈ ϕ(A 0 ) ,

ïîñêîëüêó f (a1 , . . . , an ) ∈ A 0 â ñèëó óñòîé÷èâîñòè A 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäìíîæåñòâî
ϕ(A 0 ) óñòîé÷èâî â ÀÑ B .
   Åñëè æå a1 . . . , an  ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû èç ϕ−1 (B 0 ), òî ϕ(ai ) ∈ B 0 , i = 1, n è
òîãäà
                       ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) ∈ ϕ(B 0 ) ,
îòêóäà f (a1 , . . . , an ) ∈ ϕ−1 (B 0 ) è, çíà÷èò, ϕ−1 (B 0 ) óñòîé÷èâî â A.                                ¤

   Ëåãêî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå èçîìîðôèçìó, åñòü èçîìîð-
ôèçì è êîìïîçèöèÿ ãîìîìîðôèçìîâ [ èçîìîðôèçìîâ ] åñòü ãîìîìîðôèçì [ èçîìîðôèçì ].
Òàêæå ÿñíî, ÷òî îòíîøåíèå èçîìîðôèçìà åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæå-
ñòâå àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ðàñïàäàþòñÿ
íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèå èçîìîðôíûå ñèñòåìû. Îáû÷íî èçó÷àþò ñâîé-
ñòâà àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Òàêèå ñâîéñòâà íàçûâàþò
àáñòðàêòíûìè.
   Ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì ÀÑ íàçûâàþò ýïèìîðôèçìîì, à èíúåêòèâíûé ãîìîìîð-
ôèçì  ìîíîìîðôèçìîì 2 , ò.å. òàê æå, êàê è ñîîòâåòñòâóþùå îòîáðàæåíèÿ. Ãîìîìîðôèçì
ÀÑ â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ ýíäîìîðôèçìîì. Èçîìîðôèçì ÀÑ íà ñåáÿ íàçûâàþò àâòîìîðôèç-
ìîì. Ñ êàæäîé ÀÑ A ñâÿçàíû ðåø¼òêà ïîäñèñòåì Sub A, ìîíîèä ýíäîìîðôèçìîâ End A
è ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ Aut A (ãðóïïà îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ ìîíîèäà End A ).
   Êëàññ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì íàçûâàåòñÿ àáñòðàêòíûì, åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ÀÑ â
í¼ì ëåæàò âñå ñèñòåìû, åé èçîìîðôíûå. Äëÿ àëãåáð ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 6.4 (Áèðêãîô). Êëàññ àëãåáð ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì, åñëè è òîëüêî åñëè
îí çàìêíóò îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ïîäàëãåáð, ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé è ãîìîìîðôíûõ îá-
ðàçîâ.

      Ñëåäóþùèé ôàêò ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå.
Òåîðåìà 6.5. Âñÿêèé ñþðúåêòèâíûé ýíäîìîðôèçì êîíå÷íîé ñèñòåìû åñòü èçîìîðôèçì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ÀÑ h A, Op A, Rel A i ñ êîíå÷íûì íîñèòåëåì A è ñþðúåê-
òèâíûé ýíäîìîðôèçì ϕ. Ïóñòü r  ïðîèçâîëüíîå îòíîøåíèå àðíîñòè m èç Rel A. Ïî-
ñêîëüêó ϕ  ãîìîìîðôèçì, òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà a1 , . . . , am èç m ýëåìåíòîâ íîñèòåëÿ
  2 Çàìåòèì,  ÷òî â òåîðèè êàòåãîðèé òåðìèíû ¾ýïèìîðôèçì¿ è ¾ìîíîìîðôèçì¿ èìåþò äðóãèå îïðåäå-
ëåíèÿ è, êàê ñëåäñòâèå, íåñêîëüêî èíûå ñâîéñòâà.  ÷àñòíîñòè, êàòåãîðíûå ýïèìîðôèçìû íå îáÿçàòåëüíî
ÿâëÿþòñÿ ñþðúåêòèâíûìè ãîìîìîðôèçìàìè.

Страницы