Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
2
f
×
r
×
A
1
× A
2
f
×
(a, b) = ( f
1
(a), f
2
(b) ) r
×
(a, b) = r
1
(a) N r
2
(b) .
a b A
1
A
2
n
m c
1
c
2
A
1
A
2
c
×
= (c
1
, c
2
)
A
1
× A
2
hZ
2
, +i × hZ
3
, +i (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0)
(1, 1) (1, 2) (1, 1) + (1, 1) = (0, 2)
h 2, 2, 0 i A = h {0, 1, 2}, +
3
, 6, 0 i
B = h {0, 1}, max, <, 1 i max
6 <
A × B = h { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1) }, ∗, ≤, (0, 1) i ,
∗ ≤
(a
1
, b
1
) ∗ (a
2
, b
2
) = ( (a
1
+
3
a
2
), max {b
1
, b
2
} ) ,
(a
1
, b
1
) ≤ (a
2
, b
2
) = (a
1
6 a
2
) N (b
1
< b
2
) ,
a
1
, a
2
∈ {0, 1, 2} b
1
, b
2
∈ {0, 1} (0, 1) A × B
k A A
k
h A, Op A, Rel A i h B, Op B, Rel B i
f ∈ Op A f
0
∈ Op B n
ϕ : A → B
ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
)) = f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)) ϕ(f(A
0
)) = f
0
(ϕ(A
0
))
n > 0 a
1
, . . . , a
n
∈ A n = 0
h Rr{0}, · i h R, + i ϕ
a
(x) = log
a
|x|
a > 0, a 6= 1 · +
ϕ
ϕ
h A, Op A, Rel A i h B, Op B, Rel B i
r ∈ Rel A r
0
∈ Rel B m
ϕ : A → B
r(a
1
, . . . , a
m
)
¡
¢
r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
)) ;
122                                                                 Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


A2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì îïåðàöèÿ f × è îòíîøåíèå r× â ÀÑ A1 × A2
îïðåäåëÿþòñÿ êàê

                 f × (a, b) = ( f1 (a), f2 (b) )     è     r× (a, b) = r1 (a) N r2 (b) .

Çäåñü a è b  ïðîèçâîëüíûå íàáîðû ýëåìåíòîâ èç A1 è A2 ñîîòâåòñòâåííî äëèíû n
(äëÿ îïåðàöèé) èëè m (äëÿ îòíîøåíèé). Åñëè c1 è c2  ãëàâíûå îäíîèì¼ííûå ýëåìåíòû
èç A1 è A2 ñîîòâåòñòâåííî, òî
                                  c× = (c1 , c2 )
 ãëàâíûé ýëåìåíò èç A1 × A2 .
Ïðèìåð 6.9.      1. hZ2 , +i × hZ3 , +i ñîñòîèò èç øåñòè ýëåìåíòîâ (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0),
     (1, 1), (1, 2). Ïðè ýòîì, íàïðèìåð, (1, 1) + (1, 1) = (0, 2).
  2. Ðàññìîòðèì äâå îäíîòèïíûå ÀÑ ñèãíàòóðû h 2, 2, 0 i: A = h {0, 1, 2}, +3 , 6, 0 i
     è B = h {0, 1}, max, <, 1 i, ãäå max  îïåðàöèÿ âçÿòèÿ ìàêñèìàëüíîãî èç äâóõ
     ÷èñåë, à îòíîøåíèÿ 6 è < ïîíèìàþòñÿ â îáû÷íîì ñìûñëå. Òîãäà

                A × B = h { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1) }, ∗, ≤, (0, 1) i ,

      ãäå áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ ∗ è îòíîøåíèå ≤ îïðåäåëåíû êàê

                            (a1 , b1 ) ∗ (a2 , b2 ) = ( (a1 +3 a2 ), max {b1 , b2 } ) ,
                           (a1 , b1 ) ≤ (a2 , b2 ) = (a1 6 a2 ) N (b1 < b2 ) ,

     ãäå a1 , a2 ∈ {0, 1, 2}, b1 , b2 ∈ {0, 1}, à (0, 1)  åäèíèöà ÀÑ A × B.
  3. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áóëåâûõ àëãåáð åñòü áóëåâà àëãåáðà.
   ßñíî, ÷òî îïðåäåëåíî è ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ëþáîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ ñèñòåì. Ïðÿ-
ìîå ïðîèçâåäåíèå k ÀÑ A îáîçíà÷àþò Ak .


6.3 Ãîìîìîðôèçìû ÀÑ
Îïðåäåëåíèå 6.3. Ïóñòü h A, Op A, Rel A i è h B, Op B, Rel B i  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ,
à f ∈ Op A è f 0 ∈ Op B  ïàðà îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé ìåñòíîñòè n. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî
îòîáðàæåíèå ϕ : A → B ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îïåðàöèÿìè, åñëè

            ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) è ϕ(f (A0 )) = f 0 (ϕ(A0 ))   (6.1)

äëÿ n > 0 è ïðè ïðîèçâîëüíûõ a1 , . . . , an ∈ A è n = 0 ñîîòâåòñòâåííî.

Ïðèìåð 6.10. Äëÿ àëãåáð h R r {0}, · i è h R, + i îòîáðàæåíèå ϕa (x) = loga |x| ïðè ëþáîì
äåéñòâèòåëüíîì a > 0, a 6= 1 ñîãëàñîâàííî ñ îïåðàöèÿìè · è + äàííûõ ÀÑ.
   Åñëè îòîáðàæåíèå ϕ îêàæåòñÿ ñîãëàñîâàííûì ñî âñåìè ïàðàìè îäíîèì¼ííûõ îïåðà-
öèé äâóõ ÀÑ, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ϕ ñîãëàñîâàííî ñ îïåðàöèÿìè ýòèõ ÀÑ.

Îïðåäåëåíèå 6.4. Ïóñòü h A, Op A, Rel A i è h B, Op B, Rel B i  äâå îäíîòèïíûå ÀÑ,
à r ∈ Rel A è r 0 ∈ Rel B  ïàðà îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé àðíîñòè m. Òîãäà ãîâîðÿò,
÷òî îòîáðàæåíèå ϕ : A → B ñîîòâåòñòâåííî

 1) ñîãëàñîâàííî ñ äàííûìè îòíîøåíèÿìè, åñëè

                                r(a1 , . . . , am ) ¡¢ r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) ;            (6.2)

Страницы