Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
f : X
n
→ X f(x
1
, . . . , x
n
) ∈ X A = h A, Op A, Rel A i
∅ 6= B ⊆ A B
Op A B Op A
A = h A, Op A, Rel A i ∅ 6= B ⊆ A Op B Rel B
B Op A Rel A
B Op A B = h B, Op B, Rel B i
A B 6 A
B ⊂ A B < A
A B
P(A) P(B)
P(A)
F
h F,
d
dx
i
d
dx
n h Z, + i h nZ, + i
Z
6
= h { 0, 1, . . . , 5 }, +
6
i
{ 0 } { 0, 3 } { 0, 2, 4 } Z
6
A Sub A
A {A
i
}
i∈I
T
i∈I
A
i
¤
A
A
h Z, +, ·, 0 i h Z, 6 i
A = h A, Op A, Rel A i B ⊆ A B = [ B ]
Sub A B B
B B B
B = h [B], Op A, Rel A i B B
B = {b} [ {b} ] [ b ]
120                                                    Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


6.2 Ïîäñèñòåìû. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ÀÑ
   Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèÿ
f : X n → X , åñëè f (x1 , . . . , xn ) ∈ X . Ïóñòü A = h A, Op A, Rel A i  àëãåáðàè÷åñêàÿ
ñèñòåìà è ∅ 6= B ⊆ A. Íàçîâ¼ì ìíîæåñòâî B óñòîé÷èâûì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé èç
Op A, åñëè îíî óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ñóæåíèé íà B êàæäîé îïåðàöèè èç Op A.
Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïóñòü A = h A, Op A, Rel A i  ÀÑ, ∅ 6= B ⊆ A, à Op B è Rel B 
ñîâîêóïíîñòè ñóæåíèé íà B îïåðàöèé èç Op A è îòíîøåíèé èç Rel A ñîîòâåòñòâåííî. Åñ-
ëè ìíîæåñòâî B óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé èç Op A, òî ÀÑ B = h B, Op B, Rel B i
íàçûâàåòñÿ ïîäñèñòåìîé A (ñèìâîëè÷åñêè B 6 A ).
   Ïîäñèñòåìó àëãåáðû íàçûâàþò ïîäàëãåáðîé, à ïîäñèñòåìó ìîäåëè  ïîäìîäåëüþ. Åñëè
B ⊂ A, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîäñèñòåìó íàçûâàþò ñîáñòâåííîé (ñèìâîëè÷åñêè B < A ).
    ßñíî, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî íîñèòåëÿ îïðåäåëÿåò ïîäìîäåëü, íî íå ëþáîå  ïîäàë-
ãåáðó. Äëÿ ïîñëåäíåãî òðåáóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ïîäìíîæåñòâà îòíîñèòåëüíî âñåõ îïåðàöèé
ñèãíàòóðû, â òîì ÷èñëå è íóëüàðíûõ, ò.å. ïîäñèñòåìà äîëæíà ñîäåðæàòü âñå ãëàâíûå ýëå-
ìåíòû èñõîäíîé ñèñòåìû, åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ.
Ïðèìåð 6.5.       1. Ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë åñòü ïîäàëãåáðà ïîëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
      (ñì. ïðèìåð 6.2).
   2. Åñëè ìíîæåñòâî A  ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B , òî àëãåáðà ìíî-
      æåñòâ P(A) íå ÿâëÿåòñÿ ïîäàëãåáðîé P(B), ïîñêîëüêó òàêîå ñóæåíèå íå ñîõðàíÿåò
      åäèíèöó P(A).
   3. Ïóñòü F  ìíîæåñòâî äèôôåðåíöèðóåìûõ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé. Òîãäà óíàð
            d          d
      h F, dx i, ãäå dx    îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, åñòü àëãåáðà. Ìíîæåñòâî ïîëèíî-
      ìèàëüíûõ ôóíêöèé áóäåò å¼ ïîäàëãåáðîé.
      Çàìåòèì, ÷òî ÀÑ, íîñèòåëåì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ôóíêöèé íàçûâàþò ôóíê-
      öèîíàëüíîé ñèñòåìîé.
   4. Ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n óíàð h Z, + i ñîäåðæèò ïîäàëãåáðó h nZ, + i.
   5. Ïîäàëãåáðàìè öèêëè÷åñêîé ãðóïïû Z6 = h { 0, 1, . . . , 5 }, +6 i áóäóò ïîäãðóïïû
      { 0 }, { 0, 3 }, { 0, 2, 4 } è Z6 .
    Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïîäñèñòåì ÀÑ A áóäåì îáîçíà÷àòü Sub A. ßñíî, ÷òî ýòî ÷.ó. ìíî-
æåñòâî, óïîðÿäî÷åííîå ïî âêëþ÷åíèþ (íîñèòåëåé ïîäñèñòåì).
Òåîðåìà 6.1. Ïóñòü A  ÀÑ è {Ai }i∈I  íåêîòîðàÿ ñîâîêóïíîñòü å¼ ïîäñèñòåì. Òîãäà
T
  i∈I Ai ëèáî ïóñòî, ëèáî ÿâëÿåòñÿ ïîäñèñòåìîé.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå íîñèòåëåé âñåõ ïîäñèñòåì, åñëè
îíî íå ïóñòî, óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî âñåõ îïåðàöèé ëþáîé ïîäñèñòåìû.              ¤

Ñëåäñòâèå. Åñëè ÀÑ A èìååò ãëàâíûå ýëåìåíòû, òî ïåðåñå÷åíèå âñåõ å¼ ïîäñèñòåì
íåïóñòî.
   Ñïðàâåäëèâîñòü äàííîãî ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò èç óñëîâèÿ ïðèíàäëåæíîñòè ãëàâíûõ
ýëåìåíòîâ ÀÑ A ëþáîé å¼ ïîäñèñòåìå.
    Íàèìåíüøóþ ïîäñèñòåìîé ÀÑ íàçûâàþò å¼ ãëàâíîé ïîäñèñòåìîé. Ãëàâíàÿ ïîäñè-
ñòåìà, îäíàêî, ñóùåñòâóåò íå äëÿ ëþáîé ÀÑ: íàïðèìåð, êîëüöî öåëûõ ÷èñåë (àëãåáðà)
h Z, +, ·, 0 i èëè ÷.ó. ìíîæåñòâî h Z, 6 i (ìîäåëü) íàèìåíüøèõ ïîäñèñòåì, î÷åâèäíî, íå
èìåþò.
    Ïóñòü äàíà ÀÑ A = h A, Op A, Rel A i è B ⊆ A. Îáîçíà÷èì ÷åðåç B = [ B ] ïåðåñå÷å-
íèå âñåõ ïîäñèñòåì èç Sub A, ñîäåðæàùèõ B . B íàçûâàþò ïîäñèñòåìîé, ïîðîæä¼ííîé
ìíîæåñòâîì B , à ýëåìåíòû B  ïîðîæäàþùèìè ýëåìåíòàìè. Ïîýòîìó B ìû òàêæå
áóäåì çàïèñûâàòü B = h [B], Op A, Rel A i. Åñëè B  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî B åñòü
êîíå÷íîïîðîæä¼ííàÿ ñèñòåìà. Ïðè B = {b}, òî âìåñòî [ {b} ] ïèøóò [ b ].

Страницы