Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
ω h ω
1
, ω
2
i
ω
1
: Op → A ω
2
: Rel → A,
Op Rel
A
A
h A, Op, Rel, ω
1
, ω
2
i.
Op A ⊆ A
Rel A ⊆ A A
A = h A, Op A, Rel A i,
A = h A, f
n
1
1
, . . . , f
n
N
0
N
0
, r
m
1
1
, . . . , r
m
M
M
, 0, . . . , 0 i.
Op A Rel A
Op A
A f
0
i
f
0
i
(A
0
)
σ = h f
1
, f
2
, f
3
, r
1
, c
1
, c
2
i h 2, 2, 1, 2, 0, 0 i
σ
A
1
supp A
1
= N
0
f
1
7→ +, f
2
7→ ·, f
3
(n) = n + 1, r 7→ 6, c
1
7→ 0, c
2
7→ 1.
A
2
supp A
2
= supp A
1
f
1
7→ 0, f
2
(m, n) = m
n
, f
3
(n) = 2n,
r(m, n) 7→ m n , c
1
7→ 1, c
2
7→ 1.
A
3
supp A
3
= P(A)
f
1
7→ ∪ , f
2
7→ ∩ , f
3
7→
−
, r 7→ ⊆ , c
1
7→ ∅ , c
2
7→ A.
118                                                                     Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


ñîñòîÿùèå èç áîëüøîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, äàæå åñëè A  êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íåáîëüøîé
ìîùíîñòè.
   Îïðåäåëèì äàëåå ïîíÿòèå èíòåðïðåòàöèè äàííîé àáñòðàêòíîé ñèãíàòóðû. Èíòåðïðå-
òàöèÿ ω åñòü ïàðà ôóíêöèé h ω1 , ω2 i,

                            ω1 : Op → Op A            è           ω2 : Rel → Rel A,

ñîïîñòàâëÿþùèõ êàæäîìó ñèìâîëó èç Op è Rel ñîîòâåòñòâåííî êîíêðåòíûå îïåðàöèè
èëè îòíîøåíèÿ íà A òîé æå àðíîñòè.
   Îêîí÷àòåëüíî, àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà A åñòü ïÿò¼ðêà

                                         h A, Op, Rel, ω1 , ω2 i.

   Îáðàçàìè èíòåðïðåòàöèè ÿâëÿþòñÿ ñîâîêóïíîñòè ôóíêöèé Op A ⊆ Op A è ïðåäèêà-
òîâ Rel A ⊆ Rel A íà ìíîæåñòâå A. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ñ îäèíàêîâûìè àáñòðàêò-
íûìè ñèãíàòóðàìè íàçûâàþò îäíîòèïíûìè. Îäíîòèïíûå ÀÑ ðàçëè÷àþòñÿ íîñèòåëÿìè è
èíòåðïðåòàöèÿìè. Îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ îäíîòèïíûõ ÀÑ, ÿâëÿþùèåñÿ îáðàçàìè ðàçíûõ
èíòåðïðåòàöèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèìâîëîâ ñèãíàòóðû íàçûâàþò îäíîèì¼ííûìè.
   Ïðè ðàáîòå ñ êîíêðåòíûìè ÀÑ èõ çàïèñûâàþò êîðî÷å, ëèáî â îáùåì âèäå êàê

                                       A = h A, Op A, Rel A i,

ëèáî ïåðå÷èñëåíèåì êîíêðåòíûõ îïåðàöèé è îòíîøåíèé
                                                  n                    mM
                      A = h A, f1n1 , . . . , fNN0 0 , r1m1 , . . . , rM  , 0, . . . , 0 i.

Ýëåìåíòû Op A íåíóëåâîé àðíîñòè íàçûâàþò ãëàâíûìè îïåðàöèÿìè, ýëåìåíòû Rel A 
ãëàâíûìè îòíîøåíèÿìè, à ýëåìåíòû Op A íóëåâîé àðíîñòè  ãëàâíûìè ýëåìåíòàìè
ÀÑ. Ýëåìåíò íîñèòåëÿ A, îòìå÷àåìûé íóëüàðíîé îïåðàöèåé fi0 áóäåì îáîçíà÷àòü fi0 (A0 ),
îïóñêàÿ, âîçìîæíî âåðõíèé è íèæíèé èíäåêñû ó ñèìâîëà ôóíêöèè.
Ïðèìåð 6.1. 1 Äëÿ ñèãíàòóðû σ = h f1 , f2 , f3 , r1 , c1 , c2 i òèïà h 2, 2, 1, 2, 0, 0 i ïîñòðîèì
ðàçëè÷íûå îäíîòèïíûå ÀÑ, âûáèðàÿ ðàçëè÷íûå íîñèòåëè è ïî-ðàçíîìó çàäàâàÿ èíòåð-
ïðåòàöèþ ñèìâîëîâ ñèãíàòóðû σ .
A1 : supp A1 = N0 , à ýëåìåíòû ñèãíàòóðû èíòåðïðåòèðóþòñÿ (ñ ïåðåõîäîì ê èíôåêñíîé
     çàïèñè) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

               f1 7→ +,     f2 7→ ·,       f3 (n) = n + 1,            r 7→ 6,    c1 7→ 0,      c2 7→ 1.

      ßñíî, ÷òî òàêàÿ ÀÑ îïèñûâàåò àðèôìåòèêó íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë.
A2 : supp A2 = supp A1 , íî ñèãíàòóðíûå ñèìâîëû èíòåðïðåòèðóþòñÿ ïî-äðóãîìó:

                           f1 7→ 0, f2 (m, n) = mn , f3 (n) = 2n,
                     r(m, n) 7→ m è n âçàèìíî ïðîñòû, c1 7→ 1, c2 7→ 1.

      Ýòà ýêçîòè÷íàÿ ÀÑ íå èìååò ñïåöèàëüíîãî íàçâàíèÿ.
A3 : supp A3 = P(A). Ñèãíàòóðíûå ñèìâîëû áóäåì òðàêòîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                                                          −
                f1 7→ ∪ ,     f2 7→ ∩ ,        f3 7→          ,    r 7→ ⊆ ,   c1 7→ ∅ ,       c2 7→ A.

      ßñíî, ÷òî ìû ïîëó÷èëè òîòàëüíóþ áóëåâó ñòðóêòóðó ìíîæåñòâ.
   1 Ñì. Ïèíóñ À.Ã. Îñíîâû óíèâåðñàëüíîé àëãåáðû: Ó÷åáíîå ïîñîáèå.  Íîâîñèáèðñê: Èçä-âî ÍÃÒÓ,
1998.

Страницы