Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Con A
A Con A ⊆ A
2
α, β ∈ Con A sup { α, β } = { α, β }
e
∈ Con
{α, β}
e
= α ∪ β = αβ α β
A Con A
α, β, γ ∈ Con A α ⊆ β
α ⊆ β ⇒ α ∪ (β ∩ γ) ⊇ β ∩ (α ∪ γ),
A B A
A(β ∩ (α ¦ γ))B ⇔ AβB N ∃X ( AαX N XγB ) ⇔ ∃X ( AβB N AαX N XγB ) .
X A
AβB XβB
AαX ⇒ AβX ⇔ XβA
AβB
XβA N AβB ⇒ Xβ
2
B ⇔ XβB.
∃X ( AβB N AαX N XγB ) ⇒ ∃X ( AαX N XβB N XγB ) ⇔
⇔ ∃X ( AαX N X(β ∩ γ)B ) ⇔ A[α ¦ (β ∩ γ)]B,
β ∩ (α ∪ γ) ⊆ α ∪ (β ∩ γ) ¤
x, y A
(x, y) θ(x, y)
θ(x, y) ,
\
α∈ Con A
α (xαy) .
α ∈ Con A
α =
[
θ(x, y)⊆α
θ(x, y) .
126                                                           Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


   Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ñåìåéñòâà êîíãðóýíöèé ñàìî ÿâëÿåòñÿ êîí-
ãðóýíöèåé, ïðèòîì íàèáîëüøåé èç âñåõ, ñîäåðæàùèõñÿ â êàæäîé èç êîíãðóýíöèé ñåìåé-
ñòâà. Èç òåîðåìû 4.2 ñëåäóåò, ÷òî ÷.ó. ìíîæåñòâî êîíãðóýíöèé Con A  ïîëíàÿ ðåø¼òêà,
íàçûâàåìàÿ ðåø¼òêîé êîíãðóýíöèé ÀÑ A. Ïîíÿòíî, ÷òî Con A ⊆ A2 . Ïðè ýòîì ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ α, β ∈ Con A âåðíî sup { α, β } = { α, β }e ∈ Con (ñð. ñ ïðèìåðîì 2).
Òàê æå ñâîéñòâî {α, β}e = α ∪ β = αβ äëÿ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ýêâèâàëåíòíîñòåé α è β
ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ êîíãðóýíöèé ÀÑ.

Òåîðåìà 6.6. Åñëè íà ÀÑ A âñå êîíãðóýíöèè ïåðåñòàíîâî÷íû, òî ðåø¼òêà Con A
ìîäóëÿðíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α, β, γ ∈ Con A è α ⊆ β . Äëÿ òîãî, ÷òîáû â ðåø¼òêå êîíãðóýíöèé
âûïîëíÿëñÿ ìîäóëÿðíûé çàêîí, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå

                           α ⊆ β ⇒ α ∪ (β ∩ γ) ⊇ β ∩ (α ∪ γ),

îáðàòíîå ê íåðàâåíñòâó ïîëóìîäóëÿðíîñòè.
   Çàìåíèâ îáúåäèíåíèå êîíãðóýíöèé íà èõ ïðîèçâåäåíèå, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîäñèñòåì
A è B ÀÑ A èìååì

      A(β ∩ (α ¦ γ))B ⇔ AβB N ∃X ( AαX N XγB ) ⇔ ∃X ( AβB N AαX N XγB ) .

Çäåñü X  íåêîòîðàÿ ïîäñèñòåìà A.
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå AβB ìîæíî çàìåíèòü íà XβB . Äåéñòâèòåëüíî,

                                  AαX ⇒ AβX ⇔ XβA

â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè êîíãðóýíöèé. Âìåñòå ñ AβB ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñïðàâåäëèâî

                            XβA N AβB ⇒ Xβ 2 B ⇔ XβB.

Òàêèì îáðàçîì,

 ∃X ( AβB N AαX N XγB ) ⇒ ∃X ( AαX N XβB N XγB ) ⇔
                                ⇔ ∃X ( AαX N X(β ∩ γ)B ) ⇔ A[α ¦ (β ∩ γ)]B,

ò.å. β ∩ (α ∪ γ) ⊆ α ∪ (β ∩ γ).                                                             ¤

   Ïóñòü x, y  äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà ÀÑ A. Íàèìåíüøàÿ èç êîíãðóýíöèé, ñîäåðæà-
ùèõ ïàðó (x, y), îáîçíà÷àåòñÿ θ(x, y) è íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé êîíãðóýíöèåé, ïîðîæä¼ííîé
óêàçàííîé ïàðîé. Òàêèì îáðàçîì,
                                                \
                                  θ(x, y) ,              α (xαy) .
                                              α∈ Con A


Ðîëü ãëàâíûõ êîíãðóýíöèé ðàñêðûâàåò

Òåîðåìà 6.7. Åñëè α ∈ Con A, òî
                                              [
                                    α =               θ(x, y) .
                                          θ(x, y)⊆α

Страницы