Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
A = h A, Op A, Rel A i B = h B, Op B, Rel B i
ψ ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a)
A/ Ker ϕ Im ϕ 6 B
ϕ ψ A/ Ker ϕ Im ϕ
A/ Ker ϕ
ψ
→ B
A B
A/ Ker ϕ
ϕ
nat (Ker ϕ)
ψ
ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a).
ψ A/ Ker ϕ B
f ∈ Op A f
0
∈ Op B
f
∗
∈ Op
∗
A/ Ker ϕ n n > 0
ψ(f
∗
([a
1
], . . . , [a
n
]))
(6.4)
= ψ([f(a
1
, . . . , a
n
)])
(6.7)
=
= ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
))
(6.1)
= f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
))
(6.7)
=
= f
0
(ψ([a
1
]), . . . , ψ([a
n
]))
a
1
, . . . , a
n
A n = 0
ψ(f
∗
((A/ Ker ϕ)
0
))
(6.5)
= ψ([f(A
0
)])
(6.7)
=
= ϕ(f(A
0
))
(6.1)
= f
0
(ϕ(A
0
)) = f
0
(ψ([A
0
]))
Ker ϕ
ψ f
∗
f
0
A/ Ker ϕ B
r ∈ Rel A
r
0
∈ Rel B r
∗
∈ Rel
∗
A/ Ker ϕ m a
1
, . . . , a
m
A
r
∗
([a
1
], . . . , [a
m
])
(6.6)
=
⇔
∃
A
x
1
, . . . , x
m
£¡
x
i
(Ker ϕ)a
i
, i = 1, m
¢
N r(x
1
, . . . , x
m
)
¤
(6.2)
⇒
⇒ r(x
1
, . . . , x
m
) ⇒ r
0
(ϕ(x
1
), . . . , ϕ(x
m
)) = r
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
m
))
(6.7)
=
= r
0
(ψ([a
1
]), . . . , ψ([a
m
]))
128                                                                            Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


6.5 Òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ è èçîìîðôèçìàõ ÀÑ
   Íèæåñëåäóþùàÿ òåîðåìà îïèñûâàåò ñèòóàöèþ, êîãäà â êà÷åñòâå êîíãðóýíöèè íà ÀÑ
áåð¼òñÿ ÿäåðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãîìîìîðôèçìà.
Òåîðåìà 6.9 (Î ãîìîìîðôèçìàõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì). Ïóñòü ϕ  ãîìîìîð-
ôèçì èç ÀÑ A = h A, Op A, Rel A i â îäíîòèïíóþ åé ÀÑ B = h B, Op B, Rel B i. Òîãäà
 1) îòîáðàæåíèå ψ , çàäàâàåìîå ïðàâèëîì ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a), åñòü áèåêòèâíûé ãîìî-
    ìîðôèçì èç A/ Ker ϕ â Im ϕ 6 B;
 2) åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëüíûé, òî ψ  èçîìîðôèçì ìåæäó A/ Ker ϕ è Im ϕ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå îá îñíîâíîì ñâîéñòâå îòîáðàæåíèé ñóùåñòâóåò âëîæåíèå
           ψ
A/ Ker ϕ ,→ B òàêîå, ÷òî äèàãðàììà

                                              A ''
                                                               ϕ
                                                                          wB
                                                    ')                  [
                                                                        ]
                                        nat (Ker ϕ)                   [[ψ
                                                           A/ Ker ϕ

êîììóòàòèâíà. Ýòî îòîáðàæåíèå çàäà¼òñÿ ïðàâèëîì

                                                  ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a).                                                     (6.7)

   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 1) òåîðåìû íàì íàäî ïîêàçàòü ñîãëàñîâàííîñòü îòîá-
ðàæåíèÿ ψ ñ îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèÿìè ÀÑ A/ Ker ϕ è B.
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òðîéêó îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé f ∈ Op A, f 0 ∈ Op B è
f ∈ Op ∗ A/ Ker ϕ ìåñòíîñòè n. Ïðè n > 0 èìååì:
 ∗


                               (6.4)                               (6.7)
 ψ(f ∗ ([a1 ], . . . , [an ])) = ψ([f (a1 , . . . , an )]) =
                                                       (6.1)                                  (6.7)
                         = ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) =
                                                                        = f 0 (ψ([a1 ]), . . . , ψ([an ])) (6.8)

äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , an èç A, à ïðè n = 0 

                           (6.5)                   (6.7)
 ψ(f ∗ ((A/ Ker ϕ)0 )) = ψ([f (A0 )]) =
                                                                                    (6.1)
                                                                   = ϕ(f (A0 )) = f 0 (ϕ(A0 )) = f 0 (ψ([A0 ]))

(çäåñü âñå ñìåæíûå êëàññû  ïî ýêâèâàëåíòíîñòè Ker ϕ ). Ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà îçíà-
÷àþò ñîãëàñîâàííîñòü ψ ñ f ∗ è f 0 è  â ñèëó èõ ïðîèçâîëüíîñòè  ñî âñåìè îïåðàöèÿìè
ñèñòåì A/ Ker ϕ è B.
    Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òðîéêó îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé r ∈ Rel A,
r 0 ∈ Rel B è r∗ ∈ Rel ∗ A/ Ker ϕ àðíîñòè m. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , am
èç A èìååì:
                         (6.6)
 r∗ ([a1 ], . . . , [am ]) =
                                        £¡                                 ¢                           ¤   (6.2)
                 ⇔ ∃ x1 , . . . , x m        xi (Ker ϕ)ai , i = 1, m           N r(x1 , . . . , xm )       ⇒
                     A
                                                                                                                   (6.7)
           ⇒ r(x1 , . . . , xm ) ⇒ r 0 (ϕ(x1 ), . . . , ϕ(xm )) = r 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(am )) =
                                                                     = r 0 (ψ([a1 ]), . . . , ψ([am ])) (6.9)

Страницы