Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ker ϕ
ψ r
∗
r
0
A/ Ker ϕ B
ψ A/ Ker ϕ B
A/ Ker ϕ Im ϕ
ϕ
(6.2)
⇒
⇔ ψ
r
∗
∈ Rel A/ Ker ϕ r
0
∈ Rel B A/ Ker ϕ
Im ϕ ⊆ B ψ
ψ A/ Ker ϕ Im ϕ ¤
ϕ Im ϕ
∼
=
A/ Ker ϕ
A = h N
0
, + i
B = h {+1, −1}, · i ϕ A B
ϕ(n) = (−1)
n
ϕ(m + n) = (−1)
m+n
= (−1)
m
· (−1)
n
= ϕ(m) · ϕ(n),
ϕ A B
ϕ N
0
m(Ker ϕ)n ⇔ m ≡
2
n
A/ Ker ϕ = h {[0], [1]}, ⊕ i
ψ
∼
=
B ,
ψ([1]) = ϕ(1) = −1 , ψ([0]) = ϕ(0) = +1.
ϕ : L → L
0
L L
0
ψ L
0
L/ Ker ϕ ψ(ϕ(a)) = π(a) a ∈ L π
L L/ Ker ϕ
ϕ
A = h A, Op A, Rel A i B = h B, Op B, Rel B i ∼
A ∼ ⊆ Ker ϕ
χ χ([a]
∼
) = ϕ(a) A/∼
Im ϕ 6 B
ϕ χ
A/ ∼
χ
→ B
A B
A/∼
ϕ
nat (∼)
χ
6.5. Òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ è èçîìîðôèçìàõ ÀÑ                                      129


(âñå ñìåæíûå êëàññû  ïî ýêâèâàëåíòíîñòè Ker ϕ ). Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò ñî-
ãëàñîâàííîñòü ψ ñ r∗ è r 0 è  â ñèëó èõ ïðîèçâîëüíîñòè  ñî âñåìè îòíîøåíèÿìè ñèñòåì
A/ Ker ϕ è B.
   Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî ψ åñòü ìîíîìîðôèçì èç A/ Ker ϕ â B è, ñëåäîâàòåëüíî, áèåê-
òèâíûé ãîìîìîðôèçì èç A/ Ker ϕ â Im ϕ.
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ 2) òåîðåìû çàìåòèì, ÷òî åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëü-
                   (6.2)
íûé, òî ñëåäîâàíèå ⇒ â (6.9) ìîæíî îáðàòèòü (ñì. çàìå÷àíèå íà ñ. 123) è, ñëåäîâàòåëü-
íî, çàìåíèòü íà ⇔.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî îòîáðàæåíèå ψ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî ñ
r∗ ∈ Rel A/ Ker ϕ è r 0 ∈ Rel B è îòñþäà  ñî âñåìè îòíîøåíèÿìè ñèñòåì A/ Ker ϕ è
Im ϕ ⊆ B. Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ψ áèåêòèâíî, òî ñèëüíàÿ ñîãëàñîâàííîñòü îçíà÷àåò
ñîãëàñîâàííîñòü òîæäåñòâåííóþ è ψ  èçîìîðôèçì ìåæäó A/ Ker ϕ è Im ϕ.               ¤

   Òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò, ÷òî åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ  ñèëüíûé, òî Im ϕ ∼= A/ Ker ϕ èëè,
äðóãèìè ñëîâàìè, îáðàç ñèëüíîãî ãîìîìîðôèçìà ÀÑ èçîìîðôåí ôàêòîðñèñòåìå ïî åãî
ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Ñ ó÷¼òîì çàìå÷àíèÿ íà ñ. 127, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî
ïåðåôîðìóëèðîâàòü è òàê: ñîâîêóïíîñòü âñåõ ñèëüíî ãîìîìîðôíûõ îáðàçîâ ÀÑ ñ òî÷íî-
ñòüþ äî èçîìîðôèçìà ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì âñåõ ôàêòîðñèñòåì ïî ðàçëè÷íûì êîíãðó-
ýíöèÿì. ßñíî, ÷òî äëÿ àëãåáð óòî÷íåíèå ¾ñèëüíîãî¿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îïóñêàåòñÿ.
   Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìà íîñèò íàçâàíèå ¾î ãîìîìîðôèçìàõ...¿, à íàèáîëåå ñèëüíîå å¼
óòâåðæäåíèå ãîâîðèò îá èçîìîðôèçìå. Ïðèâåä¼ííîå òðàäèöèîííîå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ
òåì, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî òåîðåìà áûëà ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ àëãåáð.
Ïðèìåð 6.15.    1. Ðàññìîòðèì äâå îäíîòèïíûå àëãåáðû  A = h N0 , + i è
      B = h {+1, −1}, · i è îòîáðàæåíèå ϕ íîñèòåëÿ A íà íîñèòåëü B, çàäàâàåìîå ïðà-
      âèëîì ϕ(n) = (−1)n . Èìååì:
                     ϕ(m + n) = (−1)m+n = (−1)m · (−1)n = ϕ(m) · ϕ(n),
     ò.å. ϕ  ãîìîìîðôèçì èç A â B (è, â ñèëó ñþúðåêòèâíîñòè  áèåêòèâíûé).
     ßäåðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ϕ ðàçáèâàåò N0 íà äâà ñìåæíûõ êëàññà  ÷¼òíûõ (âêëþ-
     ÷àÿ 0) è íå÷¼òíûõ ÷èñåë, ò.å. m(Ker ϕ)n ⇔ m ≡ 2 n. Äàëåå ïîëó÷èì
                                                        ψ
                              A/ Ker ϕ = h {[0], [1]}, ⊕ i ∼
                                                           = B,
                           ψ([1]) = ϕ(1) = −1 , ψ([0]) = ϕ(0) = +1.
  2. Ïóñòü ϕ : L → L 0  ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì ðåø¼òêè L â ðåø¼òêó L 0 .
     Òîãäà ïî òåîðåìå î ãîìîìîðôèçìàõ ñóùåñòâóåò òàêîé èçîìîðôèçì ψ ðåø¼òîê L 0
     è L/ Ker ϕ, ÷òî ψ(ϕ(a)) = π(a) äëÿ âñåõ a ∈ L, ãäå π  åñòåñòâåííûé ãîìîìîðôèçì
     ðåø¼òêè L íà å¼ ôàêòîððåø¼òêó L/ Ker ϕ.
   Ñëåäñòâèåì òåîðåì î ãîìîìîðôèçìàõ ÀÑ è î ôàêòîðìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíàÿ
Òåîðåìà   6.10 (Î ôàêòîðñèñòåìàõ). Ïóñòü ϕ                   ãîìîìîðôèçì èç ÀÑ
A = h A, Op A, Rel A i â îäíîòèïíóþ å¼ ÀÑ B =               h B, Op B, Rel B i è ∼ 
ýêâèâàëåíòíîñòü íà A òàêàÿ, ÷òî ∼ ⊆ Ker ϕ. Òîãäà:
 1) îòîáðàæåíèå χ, çàäàâàåìîå ïðàâèëîì χ([a]∼ ) = ϕ(a), åñòü ýïèìîðôèçì èç A/ ∼
    íà Im ϕ 6 B;
 2) åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëüíûé, òî è χ  ñèëüíûé ãîìîìîðôèçì.
                                                                                χ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î ôàêòîðìíîæåñòâàõ ñóùåñòâóåò îòîáðàæåíèå A/ ∼ → B
òàêîå, ÷òî äèàãðàììà
                                A
                                       ϕ
                                        [[    B     w
                                           []    
                                   nat (∼)      χ
                                            A/ ∼

Страницы