Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A ψ
α
β A β ⊆ α ( A/β ) /(α/β)
∼
=
A/α
A
A/β A/α
(A/β)/(α/β)
nat β
nat α
ε
nat (α/β)
ψ
ε ε([a]
β
) = [a]
α
ε
A/β A/α ψ ψ([[a]
β
]
α/β
) = ε(a)
( A/β ) /(α/β) A/α ¤
A A β
L = { α ∈ Con A | β ⊆ α }
Con A/β A
nat(α/β)
∼
=
L
L Con A/β
Op A
G = h G, ◦, e i α
G T G
Symm T T
D = h G, T, ◦, ∗, e i,
h G, ◦, e i G G × T
∗
→ T
e ∗ t = t , (g ◦ h) ∗ t = h ∗ (g ∗ t)
6.6. Ìíîãîîñíîâíûå ñèñòåìû                                                         131


è â äàííîé 1-é òåîðåìå îá èçîìîðôèçìå ÀÑ ðå÷ü èä¼ò ëèøü î áèåêòèâíîì ãîìîìîðôèç-
ìå. Îäíàêî åñëè A  àëãåáðà, òî ψ áóäåò èçîìîðôèçìîì, ñ ÷åì ñâÿçàíî òðàäèöèîííîå
íàçâàíèå òåîðåìû.
   Âòîðàÿ òåîðåìà îá èçîìîðôèçìàõ ÀÑ ñâÿçàíà ñ äðîáíûìè ýêâèâàëåíòíîñòÿìè.
Òåîðåìà 6.12 (Âòîðàÿ îá èçîìîðôèçìàõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì). Ïóñòü α è
β  äâå êîíãðóýíöèè íà ÀÑ A  ÀÑ, ïðè÷¼ì β ⊆ α. Òîãäà ( A/β ) /(α/β) ∼
                                                                     = A/α.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó

                                             A '
                                         [ [     ''nat α
                                       [             '')
                                  nat β

                                   [^[
                             A/β
                                   ''
                                             ε
                                                        w A/α
                                        '           [ ][
                              nat (α/β)  )
                                         '        [
                                                [^ ψ
                                          (A/β)/(α/β)

   Çàäàäèì îòîáðàæåíèå ε ïðàâèëîì ε([a]β ) = [a]α . Òîãäà ε  ñèëüíûé ãîìîìîðôèçì
èç A/β â A/α. Ïî òåîðåìå 6.9 îòîáðàæåíèå ψ , çàäàâàåìîå ïðàâèëîì ψ([[a]β ]α/β ) = ε(a),
åñòü èçîìîðôèçì ìåæäó ( A/β ) /(α/β) è A/α.                                          ¤

   Ïðèâåä¼ì áåç äîêàçàòåëüñòâà åù¼ îäíó òåîðåìó, îïèñûâàþùóþ ñâîéñòâà ÀÑ.
Òåîðåìà 6.13 (Î ñîîòâåòñòâèè). Åñëè A  ÀÑ ñ íîñèòåëåì A è β  êîíãðóýíöèÿ
íà íåé, òî ðåø¼òêà
                               L = { α ∈ Con A | β ⊆ α }
                                             nat(α/β)
èçîìîðôíà ðåø¼òêå Con A/β , ïðè÷¼ì A           ∼
                                               =        L.
   Óêàæåì òîëüêî, ÷òî çäåñü L è Con A/β  ïîëíûå ðåø¼òêè.


6.6 Ìíîãîîñíîâíûå ñèñòåìû
   Ïîíÿòèå ÀÑ ìîæåò áûòü ðàñøèðåíî. Íàïðèìåð, åñëè îïåðàöèè èç Op A  ÷àñòè÷íûå,
òî ãîâîðÿò î ÷àñòè÷íîé ÀÑ.
   Äðóãèì âîçìîæíûì íàïðàâëåíèåì ðàñøèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÀÑ ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå ýëåìåí-
òîâ ñèãíàòóðû íå íà îäíîì, à íà íåñêîëüêèõ íîñèòåëÿõ. Òàê ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìíîãî-
îñíîâíîé (ìíîãîñîðòíîé, ãåòåðîãåííîé, ïîëèäîìåííîé ) ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå
ïðèìåðû ìíîãîîñíîâíûõ àëãåáð.

Äåéñòâèå ãðóïïû íà ìíîæåñòâå. Ïóñòü äàíà ãðóïïà G = h G, ◦, e i. Äåéñòâèå α
ãðóïïû G íà íåïóñòîì ìíîæåñòâå T îáû÷íî îïðåäåëÿþò êàê ãîìîìîðôèçì èç G â ñèì-
ìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó Symm T ïðåîáðàçîâàíèé T . Ìû äàäèì èíîå, êàê ïðåäñòàâëÿåòñÿ,
áîëåå ïðîñòîå îïðåäåëåíèå äåéñòâèÿ ãðóïïû íà ìíîæåñòâå.
   Ðàññìîòðèì ñòðóêòóðó èç ïÿòè ýëåìåíòîâ

                                  D = h G, T, ◦, ∗, e i,
                                                                ∗
ó êîòîðîé ðåäóêò h G, ◦, e i åñòü ãðóïïà G, à îïåðàöèÿ G × T → T ïîä÷èíÿåòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿì
                            e ∗ t = t , (g ◦ h) ∗ t = h ∗ (g ∗ t)

Страницы