Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

g, h ∈ G t ∈ T
G Symm T
D
G T
◦ G ∗ (g, t)
g ∈ G t ∈ T e D
A = h S, X, Y, ◦, ∗, s
0
i,
S, X, Y
◦ S × X
◦
→ S ∗
S × X
∗
→ Y s
0
∈ S
S, X Y ◦ ∗ s
0
L M = h L, +, 0 i
K K
+ M
K
· K × L L
1 · x = x
(µλ) · x = µ · (λ · x)
(λ + µ) · x = λ · x + µ · x
λ · (x + y) = λ · x + µ · x
λ, µ ∈ K, x, y ∈ L
L L K
L = h L, +, {f
λ
(x)}
λ∈K
, 0 i f
λ
(x) = λ · x
L
L K
A = (A
i
)
i∈S
A
i
S
S S
S
ϕ : A → B S − A B
ϕ
φ = (ϕ
i
)
i∈S
ϕ
i
: A
i
→ B
i
² = (∼
i
)
i∈S
A = (A
i
)
i∈S
A/² , (A
i
/∼
i
)
i∈S
·
132                                                        Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


äëÿ ëþáûõ g, h ∈ G è t ∈ T . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óêàçàííûå ñîîòíîøåíèÿ ãàðàíòèðóþò,
÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå îòîáðàæåíèå G â Symm T áóäåò ÿâëÿòüñÿ ãîìîìîðôèçìîì.
   Ââåä¼ííàÿ ñòðóêòóðà D ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð äâóõîñíîâíîé àëãåáðû ñ äâóìÿ
áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè. Îíà èìååò äâà íîñèòåëÿ: G è T , ïðè÷¼ì ãðóïïîâàÿ îïåðàöèÿ
◦ îïðåäåëåíà íà ïàðàõ ýëåìåíòîâ èç G, à îïåðàöèÿ ∗  íà ïàðàõ ýëåìåíòîâ (g, t), ãäå
g ∈ G, à t ∈ T . Êîíñòàíòà e åñòü ãëàâíûé ýëåìåíò D.

Êîíå÷íûå àâòîìàòû. Êîíå÷íîì äåòåðìèíèðîâàííûì àâòîìàòîì ñ íà÷àëüíûì ñîñòî-
ÿíèåì íàçûâàåòñÿ øåñò¼ðêà îáúåêòîâ

                                    A = h S, X, Y, ◦, ∗, s0 i,

ãäå S, X, Y  êîíå÷íûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà, íàçûâàåìûå ñîîòâåòñòâåííî ìíîæåñòâàìè
                                                                        ◦
ñîñòîÿíèé, âõîäíûõ è âûõîäíûõ ñèãíàëîâ, ◦  ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ S × X → S , ∗ 
                         ∗
ôóíêöèÿ âûõîäîâ S × X → Y è s0 ∈ S  íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå.
   Êîíå÷íûå àâòîìàòû ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðîì òð¼õîñíîâíîé àëãåáðû, èìåþùåé òðè íîñè-
òåëÿ  S, X è Y , äâå áèíàðíûå ôóíêöèè  ◦ è ∗ è ãëàâíûé ýëåìåíò s0 .

Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü L  íåïóñòîå ìíîæåñòâî è M = h L, +, 0 i  àáåëåâà
ãðóïïà (ìîäóëü). Ïóñòü K  ïîëå ñ íîñèòåëåì K , îïåðàöèþ ñëîæåíèÿ â êîòîðîì áóäåì
îáîçíà÷àòü òåì æå ñèìâîëîì +, ÷òî è ó ìîäóëÿ M, à ñèìâîë îïåðàöèè óìíîæåíèÿ 
îïóñêàòü ïðè çàïèñè. Åäèíèöó ïîëÿ K áóäåì îáîçíà÷àòü, êàê îáû÷íî, 1.
   Ââåäåì íîâóþ îïåðàöèþ ·, äåéñòâóþùóþ èç K × L â L è ïîä÷èíÿþùóþñÿ ïðàâèëàì:

  1. 1 · x = x     (óíèòàëüíîñòü),
  2. (µλ) · x = µ · (λ · x)    (àññîöèàòèâíîñòü),3
  3. (λ + µ) · x = λ · x + µ · x,
  4. λ · (x + y) = λ · x + µ · x     (äèñòðèáóòèâíûå çàêîíû).

äëÿ ëþáûõ λ, µ ∈ K, x, y ∈ L.
   Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L ýëåìåíòîâ L íàä ïîëåì K ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ÀÑ
L = h L, +, {fλ (x)}λ∈K , 0 i, ãäå fλ (x) = λ · x. Ýòî ïðèìåð ÀÑ áåñêîíå÷íîãî òèïà.
   B òî æå âðåìÿ ÿñíî, ÷òî L ìîæíî ìûñëèòü êàê äâóõîñíîâíóþ àëãåáðó ñ íîñèòåëÿìè
L è K êîíå÷íîãî òèïà.
   Áîëåå ôîðìàëüíî, â êà÷åñòâå íîñèòåëÿ â ìíîãîîñíîâíûõ ñèñòåìàõ âûñòóïàþò íàáîðû
ìíîæåñòâ A = (Ai )i∈S , ãäå Ai  ìíîæåñòâà, íàçûâàåìûå äîìåíàìè, à S  ìíîæåñòâî
ñîðòîâ äîìåíîâ. Áóäåì íàçûâàòü òàêèå íàáîðû ìíîæåñòâ êîìïëåêòàìè. Ïðè ôèêñèðî-
âàííîì ìíîæåñòâå S áóäåì ãîâîðèòü î S -êîìïëåêòàõ.
   Äëÿ S -êîìïëåêòà ïîêîìïîíåíòíî (ïîñîðòíî) îïðåäåëÿþòñÿ ïîíÿòèå ïîäêîìïëåêòà.
   Ïîêîìïîíåíòíî îïðåäåëÿþòñÿ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå, à òàêæå îáðàç è ïðîîáðàç ïðè
ðàññìîòðåíèè îòîáðàæåíèé ϕ : A → B S − êîìïëåêòîâ A è B. Òàêæå ïîêîìïîíåíò-
íî îïðåäåëÿåòñÿ óìíîæåíèå îòîáðàæåíèé. ßäðîì ðàññìîòðåííîãî îòîáðàæåíèÿ ϕ áóäåò
ÿâëÿòüñÿ íàáîð φ = (ϕi )i∈S ÿäåð îòîáðàæåíèé ϕi : Ai → Bi .
   Íàáîð ýêâèâàëåíòíîñòåé ² = (∼i )i∈S êîìïëåêòà A = (Ai )i∈S îïðåäåëÿåò ôàêòîðêîì-
ïëåêò A/² , (Ai /∼i )i∈S . ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì äëÿ êîìïëåêòîâ îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì
àíàëîã òåîðåìû 2.22 îá îñíîâíîì ñâîéñòâå îòîáðàæåíèé.
   3 Ñòðîãî ãîâîðÿ, äàííûé çàêîí íå åñòü çàêîí àññîöèàòèâíîñòè, ïîñêîëüêó îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ïîëÿ
è · ðàçëè÷íû.

Страницы