Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

χ([a]
∼
) = ϕ(a).
χ A/∼ B
f ∈ OpA f
0
∈ OpB f
∗
∈ Op
∗
A/ ∼
n a
1
, . . . , a
n
A n > 0
[·] ∼
(6.7) 7→ (6.10) n = 0 χ f
∗
f
0
A/ ∼ B
r ∈ RelA
r
0
∈ RelB r
∗
∈ Rel
∗
A/ ∼ m a
1
, . . . , a
m
A [·]
∼ (6.7) 7→ (6.10) χ r
∗
r
0
A/ ∼ B
χ A/ ∼ B
A/ ∼ Im ϕ
ϕ
χ
r
∗
∈ Rel A/ ∼ r
0
∈ Rel B χ A/Ker
Im ϕ ¤
α A
B ⊆ A B
2
∩ α α A
B 6 A B
2
∩ α B
A A B B α A
ϕ = nat(A, α) β = B
2
∩ α B
ψ B/β Im ϕ
0
ϕ
0
ϕ B
A
A/α
B
Im ϕ
0
B/β
ϕ
ϕ
0
nat (B, β)
ψ
ϕ
0
ϕ = nat(A, α) B ⊆ A
B ψ
ψ([x]
Ker β
) = ϕ
0
(x) B/ Ker β Im ϕ
0
¤
ϕ
0
ψ
130                                                          Ãëàâà 6. Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû


êîììóòàòèâíà. Ýòî îòîáðàæåíèå çàäà¼òñÿ ïðàâèëîì

                                      χ([a]∼ ) = ϕ(a).                                 (6.10)

      Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû íàäî ïîêàçàòü ñîãëàñîâàííîñòü îòîáðàæå-
íèÿ χ ñ îïåðàöèÿìè è îòíîøåíèÿìè ÀÑ A/ ∼ è B. Ýòî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçà-
òåëüñòâó òåîðåìû 6.9.
      Ïóñòü f ∈ OpA, f 0 ∈ OpB è f ∗ ∈ Op∗ A/ ∼  òðîéêà îäíîèì¼ííûõ îïåðàöèé
àðíîñòè n. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , an èç A ïðè n > 0 áóäåì èìåòü
öåïî÷êó ðàâåíñòâ, ñîâïàäàþùóþ ñ (6.8), ïîíèìàÿ ïîä [·] êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ∼
è çàìåíîé (6.7) 7→ (6.10). Òàêæå è äëÿ n = 0. Ýòî îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîñòü χ ñ f ∗ è
f 0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñî âñåìè îïåðàöèÿìè ñèñòåì A/ ∼ è B.
      Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òðîéêó îäíîèì¼ííûõ îòíîøåíèé r ∈ RelA,
r ∈ RelB è r∗ ∈ Rel∗ A/ ∼ àðíîñòè m. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà ýëåìåíòîâ a1 , . . . , am èç
  0

A áóäåì èìåòü öåïî÷êó ñîîòíîøåíèé, ñîâïàäàþùóþ ñ (6.8), ïîíèìàÿ ïîä [·] êëàññû ýê-
âèâàëåíòíîñòè ïî ∼ è ñ çàìåíîé (6.7) 7→ (6.10). Ýòî îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîñòü χ ñ r∗
è r 0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñî âñåìè îòíîøåíèÿìè ñèñòåì A/ ∼ è B.
      Òàêèì îáðàçîì ïîêàçàíî, ÷òî χ åñòü ãîìîìîðôèçì èç A/ ∼ â B è, ñëåäîâàòåëüíî,
ýïèìîðôèçì A/ ∼ â Im ϕ.
      Åñëè ãîìîìîðôèçì ϕ ñèëüíûé, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ èìïëèêàöèþ â ïîñëåäíèõ ñîîòíî-
øåíèÿõ ìîæíî îáðàòèòü.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî îòîáðàæåíèå χ ñèëüíî ñîãëàñîâàííî
ñ r∗ ∈ Rel A/ ∼ è r 0 ∈ Rel B è, ñëåäîâàòåëüíî, χ  ñèëüíûé ãîìîìîðôèçì èç A/Ker â
Im ϕ.                                                                              ¤

  Ïóñòü α  îäíîðîäíîå íà ìíîæåñòâå A îòíîøåíèå, òî åãî ñóæåíèå íà ïîäìíîæåñòâî
B ⊆ A åñòü B 2 ∩ α.  ýòîì ñëó÷àå ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè α  êîíãðóýíöèÿ íà A è
B 6 A, òî B 2 ∩ α  êîíãðóýíöèÿ íà B.

Òåîðåìà 6.11 (Ïåðâàÿ îá èçîìîðôèçìàõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì). Ïóñòü ÀÑ
A ñ íîñèòåëåì A èìååò ïîäñèñòåìó B ñ íîñèòåëåì B , α  êîíãðóýíöèÿ íà A,
ϕ = nat(A, α) è β = B 2 ∩ α  êîíãðóýíöèÿ íà B. Òîãäà ñóùåñòâóåò áèåêòèâíûé
ãîìîìîðôèçì ψ ôàêòîðñèñòåìû B/β íà Im ϕ 0 , ãäå ϕ 0  ñóæåíèå ϕ íà B .

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó

                               A
                                              ϕ
                                                          w A/α
                                    ñóæåíèå                  ñóæåíèå
                                u                          u
                               B     [
                                              ϕ0
                                                       w Im ϕ 0
                                      [[              
                             nat (B, β) [
                                        ]            
                                                     ψ
                                              B/β

   Ñóæåíèå ϕ 0 ñèëüíîãî ãîìîìîðôèçìà ϕ = nat(A, α) íà B ⊆ A åñòü ãîìîìîð-
ôèçì B. Ïî òåîðåìå 6.9 î ãîìîìîðôèçìå ÀÑ îòîáðàæåíèå ψ , çàäàâàåìîå ïðàâèëîì
ψ([x]Ker β ) = ϕ 0 (x)  âçàèìîîäíîçíà÷íûé ãîìîìîðôèçì B/ Ker β íà Im ϕ 0 . ¤

   Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñóæåíèè îáëàñòè çàäàíèÿ ñâîéñòâî ãîìîìîðôèçìà ¾áûòü ñèëüíûì¿
ìîæåò áûòü ïîòåðÿíî, òàê ÷òî ãîìîìîðôèçì ϕ 0 â âûøåïðèâåä¼ííîé òåîðåìå, âîîáùå ãî-
âîðÿ, íå ñèëüíûé. Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ψ  èçîìîðôèçì,

Страницы