Лекции по упорядоченным множествам и универсальной алгебре. Гуров С.И. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α
xαy θ(x, y) ⊆ α
xθ(x, y)y
α ⊆
[
θ(x, y)⊆α
θ(x, y) ⊆
G
θ(x, y)⊆α
θ(x, y) ⊆ α ,
F
θ(x, y)⊆α
θ(x, y)
α θ(x, y) xαy ¤
ϕ A
ϕ
]
(0)
f f n
n > 0 a
1
, a
1
0
. . . , a
n
, a
n
0
∈ A a
i
(Ker ϕ) a
i
0
ϕ(a
i
) = ϕ(a
i
0
) i = 1, n ϕ
ϕ(f(a
1
, . . . , a
n
)) = f
0
(ϕ(a
1
), . . . , ϕ(a
n
)) =
= f
0
(ϕ(a
1
0
), . . . , ϕ(a
n
0
)) = ϕ(f(a
1
0
, . . . , a
n
0
)),
f(a
1
, . . . , a
n
) (Ker ϕ) f(a
1
0
, . . . , a
n
0
)
n = 0
¤
A = h A, Op A, Rel A i α
Op A a
[a]
α
A/α sgnt A
f
∗
A/α f ∈ Op A n
f
∗
([a
1
]
α
, . . . , [a
n
]
α
) = [f(a
1
, . . . , a
n
)]
α
n > 0 n = 0
f
∗
((A/α)
0
) = [f(A
0
)]
α
.
r
∗
r ∈ Rel A m
r
∗
([a
1
]
α
, . . . , [a
m
]
α
) =
=
∃
A
x
1
, . . . , x
m
£
( a
i
αx
i
, i = 1, m ) N r(x
1
, . . . , x
m
)
¤
.
A/α Op
∗
A/α
Op
∗
A/α
A/α = h A/α, Op
∗
A/α, Rel
∗
A/α i
A
nat(A, α) A
A/α α
α
A nat(A, α)
h Z/≡
2
i = h Z
2
, · i h Z/≡
4
i = h Z
4
, · i
A A/M
∼
=
A A/O
h Z/M i
∼
=
h Z, · i h Z/O i
∼
=
h {[0]}, · i
6.5. Òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìàõ è èçîìîðôèçìàõ ÀÑ                                                                        127


   Òàêèì îáðàçîì, âñÿêàÿ êîíãðóýíöèÿ α ÀÑ ÿâëÿåòñÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûì îáú-
åäèíåíèåì ñîäåðæàùèõñÿ â íåé ãëàâíûõ êîíãðóýíöèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ãëàâíîé êîíãðóýíöèè, åñëè xαy , òî θ(x, y) ⊆ α. Òàê êàê
xθ(x, y)y , òî               [               G
                       α ⊆        θ(x, y) ⊆      θ(x, y) ⊆ α ,
                                       θ(x, y)⊆α               θ(x, y)⊆α
     F
ãäå θ(x, y)⊆α θ(x, y)  ðåø¼òî÷íîå îáúåäèíåíèå âñåõ ãëàâíûõ êîíãðóýíöèé, ñîäåðæàùèõ-
ñÿ â α, ò.å. íàèìåíüøàÿ èç êîíãðóýíöèé, ñîäåðæàùèõ âñå θ(x, y), ãäå xαy .          ¤

Òåîðåìà 6.8. ßäðî ãîìîìîðôèçìà ÀÑ åñòü êîíãðóýíöèÿ íà íåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ  ãîìîìîðôíîå îòîáðàæåíèå ÀÑ ñ íîñèòåëåì A. Ïîñêîëüêó ÿä-
ðî ϕ ] (0) åñòü ýêâèâàëåíòíîñòü, íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü åãî ñòàáèëüíîñòü îòíîñèòåëüíî
îïåðàöèé äàííîé ÀÑ.
   Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ îïåðàöèþ f äàííîé ÀÑ. Ïóñòü ìåñòíîñòü f åñòü n.
   Åñëè n > 0, òî âîçüì¼ì a1 , a1 0 . . . , an , an 0 ∈ A òàêèå, ÷òî ai (Ker ϕ) ai 0 , èëè èíà÷å
ϕ(ai ) = ϕ(ai 0 ) äëÿ âñåõ i = 1, n. Ïîñêîëüêó ϕ  ãîìîìîðôèçì, èìååì:
  ϕ(f (a1 , . . . , an )) = f 0 (ϕ(a1 ), . . . , ϕ(an )) =
                                                        = f 0 (ϕ(a1 0 ), . . . , ϕ(an 0 )) = ϕ(f (a1 0 , . . . , an 0 )),
ò.å. f (a1 , . . . , an ) (Ker ϕ) f (a1 0 , . . . , an 0 ).
    Åñëè n = 0, òî çàìåòèì, ÷òî ÿäåðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ãîìîìîðôèçìà  ðåôëåêñèâíîå
îòíîøåíèå, ñòàáèëüíîå îòíîñèòåëüíî íóëüìåñòíîé îïåðàöèè ïî îïðåäåëåíèþ.           ¤

   Ïóñòü íà ÀÑ A = h A, Op A, Rel A i çàäàíà êîíãðóýíöèÿ α. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðåçóëü-
òàòû îïåðàöèé èç Op A íå èçìåíÿþòñÿ ïðè çàìåíå ýëåìåíòà a íà êàêîé-ëèáî äðóãîé èç
êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè [a]α . Ýòî ïîçâîëÿåò êîððåêòíî îïðåäåëèòü íà ôàêòîðìíîæåñòâå
A/α îäíîèì¼ííûå îòíîñèòåëüíî sgnt A îïåðàöèè è îòíîøåíèÿ.
   Îïåðàöèÿ f ∗ íà A/α, îäíîèì¼ííàÿ îïåðàöèè f ∈ Op A àðíîñòè n, çàäà¼òñÿ ðàâåí-
ñòâîì
                        f ∗ ([a1 ]α , . . . , [an ]α ) = [f (a1 , . . . , an )]α (6.4)
ïðè n > 0, à ïðè n = 0 
                                             f ∗ ((A/α)0 ) = [f (A0 )]α .                                            (6.5)
    Îòíîøåíèå r∗ , îäíîèì¼ííîå îòíîøåíèþ r ∈ Rel A àðíîñòè m, çàäà¼òñÿ ðàâåíñòâîì
  r∗ ([a1 ]α , . . . , [am ]α ) =
                                                             £                                           ¤
                                          = ∃ x1 , . . . , xm ( ai αxi , i = 1, m ) N r(x1 , . . . , xm ) . (6.6)
                                              A
   Ïîëó÷åííûå ìíîæåñòâà îïåðàöèé è îòíîøåíèé íà A/α áóäåì îáîçíà÷àòü Op ∗ A/α è
Op ∗ A/α ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîðñèñòåìà
                                     A/α = h A/α, Op ∗ A/α, Rel ∗ A/α i
áóäåò êîððåêòíî îïðåäåë¼ííîé ÀÑ, îäíîòèïíîé ñ A. Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî åñòåñòâåííîå
îòîáðàæåíèå nat(A, α) â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.6) áóäåò ñèëüíûì ãîìîìîðôèçìîì èç A â
A/α è èìåòü α â êà÷åñòâå ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè.
Çàìå÷àíèå. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî òåîðåìà 6.8 äîïóñêàåò îáðàùåíèå: åñëè α  êîí-
ãðóýíöèÿ íà ÀÑ A, òî åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå nat(A, α) åñòü ãîìîìîðôèçì (íà å¼
ôàêòîðñèñòåìó).
Ïðèìåð 6.14.    1. Äëÿ ïðèìåðà 6.13 èìååì h Z/ ≡2 i = h Z2 , · i è h Z/ ≡4 i = h Z4 , · i.
  2. Äëÿ ÀÑ A èìååì A/M ∼    = A è A/O  îäíîýëåìåíòíàÿ ÀÑ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðè-
     ìåðà 6.13 èìååì h Z/ M i ∼
                              = h Z, · i è h Z/O i ∼
                                                   = h {[0]}, · i .

Страницы