Основы планирования эксперимента. Хамханов К.М. - 20 стр.

                           5           +               +                         -   у5
                           6           -               +                         -   у6
                           7           +               -                         -   у7
                           8           -               -                         -   у8


             6.2. СВОЙСТВА ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ТИПА 2k

     Полный факторный эксперимент относится к числу планов, которые являются наиболее
эффективными при построении линейных моделей. Эффективность, иначе оптимальность,
полного факторного эксперимента достигается за счет ниже перечисленных его свойств.
     Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них –
симметричность относительно центра эксперимента – формулируется следующим образом:
алгебраическая сумма элементов вектора-столбца каждого фактора равна нулю, или
                                                 N

                                                ∑x
                                                 j =1
                                                            ij       = 0,

где i = 1, 2, …, k – номер фактора,
    N – число опытов.
     Второе свойство – так называемое условие нормировки – формулируется следующим
образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или
                                                 N

                                                ∑x
                                                j =1
                                                           2
                                                           ij    =N.

     Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и –1.
     Мы рассмотрели свойства отдельных столбцов матрицы планирования. Рассмотрим
свойства совокупности столбцов.
     Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю,
      N

или   ∑x
      j =1
             ij   хuj = 0 при i ≠ u , а также i, u = 0,1,..., k . Это важное свойство называется

ортогональностью матрицы планирования.
     Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т.е. точки в матрице
планирования подбираются так, что точность предсказаний значений параметра
оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от
направления.
     Выполнение этих условий обеспечивает минимальную дисперсию коэффициентов
регрессии, но и равенство дисперсии. Это облегчает статистический анализ результатов
эксперимента.

                               6.3. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

     Построив    матрицу    планирования    осуществляют    эксперимент.  Получив
экспериментальные данные рассчитывают значения коэффициентов регрессии.
     Значение свободного члена (во) берут как среднее арифметическое всех значений
параметра оптимизации в матрице:
                                                                N

                                                            ∑у           u
                                               во =              1
                                                                             ,
                                                                     N
где       yu - значения параметра оптимизации в u-м опыте;
       N – число опытов в матрице.
88