Общая теория измерений. Хамханова Д.Н. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

41
∫
∞
∞−
= 1)( dxxp
.
Описание отсчета или результата измерения с помо-
щью законов распределения вероятности является наибо-
лее полным, но неудобным. Во многих случаях ограничи-
ваются приближенным описанием закона распределения
вероятности с помощью его числовых характеристик, или
моментов. Все они представляют собой некоторые средние
значения, причем, если усредняются величины, отсчиты-
ваемые от начала координат, моменты называются началь-
ными, а если от центра закона распределения – централь-
ными.
Общее правило образования начальных моментов:
dxxpxx
rr
)(
∫
∞
∞−
= ,
где r – номер момента.
Важнейшим начальным моментом является пер-
вый – среднее значение:
dxxpxx )(
∫
∞
∞−
=
,
характеризующее математическое ожидание отсчета при
бесконечном повторении процедуры измерения. Иногда
математическое ожидание удобнее обозначать символом М
(х). Свойства математического ожидания:
1) математическое ожидание неслучайного числа рав-
но самому этому числу:
М(а) =а;
2) постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:
М (aх) = аМ (х),
где а = const;
3) математическое ожидание алгебраической суммы
случайных чисел равно алгебраической сумме их матема-
тических ожиданий:
42
М(х +у - z) = М(х) +М(у) —M(z);
4) математическое ожидание произведения независи-
мых случайных чисел равно произведению их математиче-
ских ожиданий:
M(x·y·z) =M(x) M(y) M(z);
5) математическое ожидание отклонения случайного
числа от его математического ожидания равно нулю:
М[х - М(х)] = 0.
Мерой рассеяния отдельных результатов около их
среднего значения
служит второй центральный момент.
Общее правило образования центральных моментов запи-
сывается следующим образом:
dxxpxxxx
rr
)()()(
∫
∞
∞−
−=− ,
откуда сразу видно, что первый центральный момент тож-
дественно равен нулю:
01)()()()()( =⋅−=−=−=−
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
xxdxxpxdxxxpdxxpxxxx
Второй центральный момент называется дисперсией и обо-
значается
2
x
σ
:
dxxpxxxx
x
)()()(
222
∫
∞
∞−
−=−=
σ
.
Иногда дисперсию удобнее обозначать символом
D (х). Свойства дисперсии:
1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:
D (а) = 0;
2) постоянный множитель можно выносить за знак
дисперсии, возводя его при этом в квадрат:
D (ах) = а
2
D (х),
где а =соnst;
3) дисперсия алгебраической суммы двух случайных
чисел: 
                         ∞                                                М(х +у - z) = М(х) +М(у) —M(z);
                         ∫ p( x)dx = 1 .                        4) математическое ожидание произведения независи-
                         −∞                                мых случайных чисел равно произведению их математиче-
     Описание отсчета или результата измерения с помо-     ских ожиданий:
щью законов распределения вероятности является наибо-                        M(x·y·z) =M(x) M(y) M(z);
лее полным, но неудобным. Во многих случаях ограничи-           5) математическое ожидание отклонения случайного
ваются приближенным описанием закона распределения         числа от его математического ожидания равно нулю:
вероятности с помощью его числовых характеристик, или                             М[х - М(х)] = 0.
моментов. Все они представляют собой некоторые средние          Мерой рассеяния отдельных результатов около их
значения, причем, если усредняются величины, отсчиты-      среднего значения служит второй центральный момент.
ваемые от начала координат, моменты называются началь-     Общее правило образования центральных моментов запи-
ными, а если от центра закона распределения – централь-    сывается следующим образом:
ными.                                                                                             ∞
     Общее правило образования начальных моментов:                                (x − x)r =      ∫ (x − x)
                                                                                                              r
                                                                                                                  p ( x)dx ,
                              ∞
                                                                                                  −∞
                       xr =   ∫x
                                      r
                                          p( x)dx ,        откуда сразу видно, что первый центральный момент тож-
                              −∞
                                                           дественно равен нулю:
где r – номер момента.                                                  ∞                     ∞                     ∞
      Важнейшим начальным моментом является пер-
вый – среднее значение:
                                                           ( x − x) =   ∫ ( x − x ) p( x)dx = ∫ xp( x)dx −x ∫ p( x)dx =x − x ⋅ 1 = 0
                                                                        −∞                   −∞                    −∞
                                  ∞
                                                           Второй центральный момент называется дисперсией и обо-
                         x=
                               −∞
                                  ∫ x p( x)dx ,            значается σ x2 :
                                                                                                       ∞
характеризующее математическое ожидание отсчета при
бесконечном повторении процедуры измерения. Иногда                             σ x2 = ( x − x ) 2 = ∫ ( x − x ) 2 p( x)dx .
математическое ожидание удобнее обозначать символом М                                                  −∞

(х). Свойства математического ожидания:                          Иногда дисперсию удобнее обозначать символом
      1) математическое ожидание неслучайного числа рав-   D (х). Свойства дисперсии:
но самому этому числу:                                           1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:
                            М(а) =а;                                                D (а) = 0;
      2) постоянный множитель можно выносить за знак             2) постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания:                                  дисперсии, возводя его при этом в квадрат:
                     М (aх) = аМ (х),                                           D (ах) = а2 D (х),
где а = const;                                             где а =соnst;
      3) математическое ожидание алгебраической суммы            3) дисперсия алгебраической суммы двух случайных
случайных чисел равно алгебраической сумме их матема-      чисел:
тических ожиданий:

                                                      41   42

Страницы