Общая теория измерений. Хамханова Д.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

83
nk lg3,31 ⋅+= ;
4) ширина интервала определяется по следующей
формуле:
n
QQ
h
lg2,31
minmax
+
−
=
,
где n – объем выборки, количество измерений;
5)
на основании выбранной теоретической функции
()
QF
, в данном случае нормальный закон распределения
вероятности, определяют вероятность попадания результа-
та измерения в интервал
1−i
Q
;
i
Q
:
{}()()()
11
1
−−
−==≤≤=
∫
−
ii
Q
Q
iii
QFQFdxQfQQQPp
i
i
;
6)
умножая полученные вероятности
i
р
на n, полу-
чаем теоретические частоты
i
nр
, т. е. частоты, которые
следует ожидать в интервале (
1−i
Q
;
i
Q
), если гипотеза
верная;
7)
определение меры расхождения эмпирического
закона распределения от теоретического ЗРВ результата
измерения:
(
)
∑∑
==
−
=
−=
k
i
i
ii
k
i
i
i
i
np
npm
P
n
m
P
n
1
2
1
2
2
χ
.
Если расхождение случайное, то
2
χ
подчиняется
2
χ
– распределению К. Пирсона.
Интегральная функция распределения вероятности
К. Пирсона определяет вероятность того, что случайное
число примет значение меньшее аргумента этой функции
2
χ
0.
Поэтому, задавшись значением интегральной функции
распределения F(
2
χ
0
), можно проверить, больше или
84
меньше его аргумента
2
χ
0
вычисленное значение
2
χ
.
При использовании критерия Пирсона возможны два
рода ошибок. Ошибка первого рода состоит в отклонении
верной гипотезы, а ошибка второго рода – в принятии
неправильной гипотезы.
На рис. 16 представлены графики плотности
распределения вероятности
2
χ
, когда проверяемая
гипотеза верна (а) и когда неверна (б).
Рисунок 16
а) проверяемая гипотеза верна;
б) проверяемая гипотеза неверна.
Если вероятность, с которой принимается решение,
соответствует значение
2
χ
0
, то при всех
2
χ
<
2
χ
0
гипотеза
будет приниматься, а при всех
2
χ
>
2
χ
0
– будет
отвергаться. Вероятности ошибок первого и второго рода
при этом будут равны:
2
0
χ
2
χ
)(
2
1
χ
Р
)(
2
2
χ
Р
11
Р
1
Р
а
б 
                       k = 1 + 3,3 ⋅ lg n ;                            меньше его аргумента χ 0 вычисленное значение χ 2 .
                                                                                                     2

      4) ширина интервала определяется по следующей                          При использовании критерия Пирсона возможны два
формуле:                                                               рода ошибок. Ошибка первого рода состоит в отклонении
                             Q max − Q min                             верной гипотезы, а ошибка второго рода – в принятии
                      h =                   ,
                             1 + 3 , 2 lg n                            неправильной гипотезы.
где n – объем выборки, количество измерений;                                 На рис. 16 представлены графики плотности
      5) на основании выбранной теоретической функции                  распределения вероятности χ 2 , когда проверяемая
F (Q ) , в данном случае нормальный закон распределения                гипотеза верна (а) и когда неверна (б).
вероятности, определяют вероятность попадания результа-
та измерения в интервал Q i −1 ; Q i :                                            Р1 ( χ 2 )
                                  Qi

     pi = P{Qi −1 ≤ Q ≤ Qi } =    ∫ f (Q)dx = F (Q ) − F (Q ) ;
                                                  i       i −1
                                                                                 Р2 ( χ 2 )                    а
                                 Qi −1

     6) умножая полученные вероятности р i на n, полу-                                                                                б
чаем теоретические частоты nр i , т. е. частоты, которые
следует ожидать в интервале ( Q i −1 ; Q i ), если гипотеза
верная;
      7) определение меры расхождения эмпирического
закона распределения от теоретического ЗРВ результата                                                    Р11
                                                                                                                      Р1
измерения:
                k
                   n  mi            k
                                         (m i − np i )
                                         2                  2

    χ   2
            ∑
            =         
             i = 1 Pi  n
                          − P i 
                                
                                  = ∑
                                    i =1      np i
                                                       .                                                       χ 02              χ2

        Если расхождение случайное, то χ 2 подчиняется                                                   Рисунок 16
                                                                                               а) проверяемая гипотеза верна;
χ2 – распределению К. Пирсона.                                                                б) проверяемая гипотеза неверна.
        Интегральная функция распределения вероятности
К. Пирсона определяет вероятность того, что случайное                        Если вероятность, с которой принимается решение,
число примет значение меньшее аргумента этой функции                   соответствует значение χ 2 0, то при всех χ 2 < χ 2 0 гипотеза
χ 2 0. Поэтому, задавшись значением интегральной функции               будет приниматься, а при всех χ 2 > χ 2 0 – будет
распределения F( χ 2 0), можно проверить, больше или                   отвергаться. Вероятности ошибок первого и второго рода
                                                                       при этом будут равны:

                                                                  83   84

Страницы