Введение в теорию нечетких множеств. Хаптахаева Н.Б - 17 стр.

UptoLike

17
Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на
использовании операций max min, поэтому доказательство свойств достаточно
просто. Докажем, например, свойство ассоциативности (1.20а) и первую
теорему де Моргана (1.29).
Доказательство (1.20а):
max (max (
µ
A
(u),
µ
B
(u)), (
µ
C
(u)) = max (
µ
A
(u), max (
µ
B
(u),
µ
C
(u)).
Выбор max из 3-х: max ((max (
µ
A
(u),
µ
B
(u)),
µ
C
(u)) = max (
µ
A
(u), (max
(
µ
B
(u),
µ
C
(u))) = max (
µ
A
(u),
µ
B
(u),
µ
C
(u)).
Доказательство (1.29):
1 – min (
µ
A
(u),
µ
B
(u)) = max (1 -
µ
A
(u)), (1 -
µ
B
(u)) = 1 – min (
µ
A
(u),
µ
B
(u)).
1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами
Опр.1.15. Алгебраическое произведение А и В обозначается А
B и
определяется функцией принадлежности вида
)()()( uuu
BABA
µ
µ
µ
=
для uU.
Опр.1.16. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+В и
определяется функцией принадлежности
)()()()()( uuuuu
BABABA
µ
µ
µ
µ
µ
+
=
+
для
uU.
Для операций {, +} выполняются свойства:
Коммутативность:
А
В = В
А (1.32)
А+ В = В+А (1.32а)
Ассоциативность:
(А
В)
С = А
(В
С) (1.33)
(А+В) +С = А+ (В+С) (1.33а)
А
Ø = Ø (1.34)
А+Ø = A (1.35)
А
U = A (1.36)
А+U = U (1.37)
Теоремы де Моргана