Введение в теорию нечетких множеств. Хаптахаева Н.Б - 17 стр.

       Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на
использовании операций max min, поэтому доказательство свойств достаточно
просто. Докажем, например, свойство ассоциативности (1.20а) и первую
теорему де Моргана (1.29).
       Доказательство (1.20а):
       max (max (µA(u), µB(u)), (µC(u)) = max (µA(u), max (µB(u), µC(u)).
       Выбор max из 3-х: max ((max (µA(u), µB(u)), µC(u)) = max (µA(u), (max
(µB(u), µC(u))) = max (µA(u), µB(u), µC(u)).
       Доказательство (1.29):
       1 – min (µA(u), µB(u)) = max (1 - µA(u)), (1 - µB(u)) = 1 – min (µA(u), µB(u)).


1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами
       Опр.1.15. Алгебраическое произведение А и В обозначается А⋅B и
определяется функцией принадлежности вида µ A⋅B (u ) = µ A (u ) µ B (u ) для ∀ u∈U.
       Опр.1.16. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+В и
определяется функцией принадлежности µ A+ B (u ) = µ A (u ) + µ B (u ) − µ A (u ) µ B (u ) для
∀ u∈U.
       Для операций {⋅, +} выполняются свойства:
       Коммутативность:
       А⋅В = В⋅А                                              (1.32)
       А+ В = В+А                                             (1.32а)
       Ассоциативность:
       (А⋅В) ⋅С = А⋅ (В⋅С)                                    (1.33)
       (А+В) +С = А+ (В+С)                                    (1.33а)
       А⋅Ø = Ø                                                (1.34)
       А+Ø = A                                                (1.35)
       А⋅U = A                                                (1.36)
       А+U = U                                                (1.37)
       Теоремы де Моргана


                                             17