Введение в теорию нечетких множеств. Хаптахаева Н.Б - 38 стр.

               R 2 = Rο R                                                       (2.11)
                      ~          ~


     с функцией принадлежности

               µ R ( x, z ) = MAX  MIN ( µ ℜ ( x, y ), µ ℜ ( y, z ))        (2.12)
                                                                     
                  2
                 ~
                                     y          ~            ~




     где x, y, z ∈ U .
     Свойство         (2.10),            определяющее             транзитивность,   можно   также
представить следующим образом:
               R οR ⊂ R                                                         (2.13)
     Из этого видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения
зависит от способа определения композиции нечетких отношений.
     Предположим, что
                             R2 ⊂ R ,                                           (2.14)
                          и R k +1 ⊂ R k , k=1,2,3,…                            (2.15)
     Тогда очевидно, что
               R k ⊂ R , k = 1,2,3,…                                            (2.16)
     Опр.2.20. Транзитивным замыканием нечеткого бинарного отношения
будем называть отношение
               R€ = R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ...                                         (2.17)
     Теорема 1. Транзитивное замыкание любого бинарного отношения есть
транзитивное бинарное отношение.
     Доказательство. Согласно (2.17) можно записать
               R€2 = R€ ο R€ = R 2 ∪ R 3 ∪ R 4 ∪ ...                            (2.18)
     тогда сравнивая (2.17) и (2.18.9), можно записать
               R€2 ⊂ R€                                                         (2.19)
     что и доказывает транзитивность R.
     Подводя итоги, получаем следующие свойства:
               (R ⊃ R ) ⇔ (R = R€) ⇔ R транзитивно
                             2
                                                                                (2.20)
              (R = R ) ⇒ (R = R€) ⇔ R транзитивно
                         2
                                                                                (2.21)
     Замечание. Теорема 1 позволяет строить транзитивное отношение для
любого отношения.
                                                       38