Введение в теорию нечетких множеств. Хаптахаева Н.Б - 39 стр.

      Теорема 2. Пусть R - некоторое нечеткое бинарное отношение.
      Если для некоторых k имеем
               R k +1 = R k                                                                  (2.22)

      то
              R€ = R ∪ R 2 ∪ ... ∪ R k                                                     (2.23)
      Заметим, что обратное утверждение неверно.
      Доказательство почти тривиально.


2.5. Специальные типы нечетких отношений

2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка
      Опр. 2.21. Нечетким отношением предпорядка называется бинарное
нечеткое    отношение,           обладающее                свойствами             транзитивности      и   ре-
флексивности.
      Для нечетких отношений предпорядка справедливы следующие теоремы.
      Теорема 3. Если R — транзитивно и рефлексивно (т. е. предпорядок), то
R k = R, ∀k , (k=1,2,3…)

      Доказательство. Достаточно обратиться к определению транзитивности
и показать, что если
                                              ∀x : µ R ( x, x) = 1,

то
                                                     R2 = R
поскольку
                                                  R2 = R οR
то согласно (2.7) имеем
               µ R ( x, z ) = max min{µ A ( x, y ), µ B ( y, z )}
                  2                                                                         (2.24)
                              y∈U


      Правая часть содержит два равных члена
                  min{µ R ( x, x), µ R ( x, z )} = min{µ R ( x, z ), µ R ( z , z )} = µ R ( x, z )

      Поскольку в силу рефлексивности
                                          µ R ( x, x ) = µ R ( x, z ) = 1

                                                        39