Введение в теорию нечетких множеств. Хаптахаева Н.Б - 43 стр.

                c = µ R ( x, z ) = µ R ( z , x ) 
                                                  
                a = µ R ( x, y ) = µ R ( y , x )                                                 (2.27)
                b = µ R ( y, z ) = µ R ( z , y ) 
                 Тогда
        c ≥ a= b, или a ≥ b= c или b ≥ c = a.
                 Другими словами, из этих трех величин a, b, c по крайней мере две
величины равны друг другу, а третья больше всех остальных.

2.5.4. Отношения различия.
        Рассмотрим отношение подобия R, определенное в 2.5.3. Для удобства
напомним здесь три свойства подобия:
1) ∀( x, y ), ( y, z ), ( z , x) ∈ U × U : µ R ( x, z ) ≥ max[min{µ R ( x, y ), µ R ( y, z )}] - транзитивность,
                                                              y


2) ∀( x, x) ∈ U × U : µ R ( x, x) = 1 - рефлексивность,
3) ∀( x, y ) ∈ U × U : µ R ( x, y ) = µ R ( y, x) - симметрия.
        Теперь с R свяжем отношение R , такое, что
                     ∀( x, y ) ∈ U × U : µ R ( x, y ) = 1 − µ R ( x, y )                       (2.28)

        Зная, что отношение R обладает свойствами 1)-3), можно определить и
свойства отношения R . Начнем со свойства транзитивности.
        Имеем:
           1 − µ R ( x, z ) ≥ max[min{[1 − µ R ( x, y )], [1 − µ R ( y, z )]}]                          (2.29)
                                 y


        но согласно теореме де Моргана
           min{[1 − µ R ( x, y )], [1 − µ R ( y, z )]} = 1 − max{µ R ( x, y ), µ R ( y, z )}            (2.30)

        Таким образом, (2.29) можно переписать в виде
                                 1 − µ R ( x, z ) ≥ max[1 − max{µ R ( x, y ), µ R ( y, z )}]
                                                      y


        или
                                       µ R ( x, z ) ≤ min[max{µ R ( x, y ), µ R ( y, z )]
                                                          y


        это свойство называется (min – max)-котранзитивностью.
        В силу 2) имеем µ R ( x, x) = 1 − µ R ( x, x) = 1 − 1 = 0
        И, наконец, симметрия тоже сохраняется. Итак, мы имеем

                                                                  43