Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
ная с неточным считыванием показаний прибора, принимается равной по-
ловине цены деления шкалы прибора:
2
шкалы деления цена
=∆
ин
x
.
Например , при измерении времени реакции испытуемого с помощью руч-
ного секундомера, шкала которого имеет цену деления 0,1 с, доверитель -
ный интервал без учета случайных факторов равен 0,05 с (замерить вре-
меннóй интервал 0,04 с таким прибором невозможно).
Доверительный интервал для генеральной дисперсии, содержащий
параметр σ
2
с надежностью Р = 1 – α, вычисляется следующим образом:
2
2/1
22
2
2/
2
11
αα
χ
σ
χ
−
−
<<
−
n
s
n
s
.
Здесь n — объем выборки , s
2
— выборочная дисперсия. Критические зна-
чения распределения χ
2
определяются в статистических таблицах для
уровня значимости α и числа степеней свободы с df = n – 1.
Границы доверительных интервалов для генерального среднего
квадратичного отклонения σ находят путем извлечения квадратного
корня из значений доверительных границ для генеральной дисперсии.
Доверительные интервалы для вероятности вычисляются по форму-
лам :
p
1
< p < p
2
,
где
+
−
±
+
+
=
−
−
−
−
2
2/1
2/1
2
2/1
2/1
1,2
2
)1(
2 n
z
n
ww
z
n
z
w
nz
n
p
α
α
α
α
.
Здесь n — объем выборки , w — относительная частота, z
1– α/2
— квантили
нормального распределения (находятся по статистическим таблицам для
выбранного уровня значимости α ).
Пример 1.1. Получены результаты измерения времени реакции (в миллисекун-
дах) 20 тревожных испытуемых на слуховой раздражитель : 434, 436, 443, 445, 445, 446,
447, 447, 448, 451, 452, 453, 456, 458, 458, 462, 462, 468, 472, 477. Требуется оценить ха-
рактеристики центральной тенденции, рассеяния, асимметрии, эксцесса и рассчитать
95 %-е доверительные интервалы для математического ожидания и генеральной дис-
персии. Точность измерения времени реакции равна 1 мс.
Решение. Составляем расчетную таблицу (табл. 2), в контрольную строку запи -
сываем суммы столбцов , ® , °, ± и ².
Сумма столбца представляет собой объем выборки :
∑
=
i
i
nn = 20. Выборочное
среднее находится путем деления контрольных строк столбцов ® и :
∑
=
i
ii
nx
n
x
1
= 0,453
20
9060
= мс.
Выборочная медиана есть среднее арифметическое значений, находящихся в се-
редине вариационного ряда: х
0,5
= ½ (х
10
+ х
11
) = ½ (451 + 452) = 451,5 мс. 
                                            13

ная с неточным счи тывани ем показ ани й при бора, при ни мается равной по-
лови нецены делени я шкалы при бора:
                                        ц ена делени я ш калы
                                ∆xи н =                                  .
                                                       2
Н апри мер, при и з мерени и времени реакци и и спытуемого с помощ ь ю руч-
ного секундомера, шкала которого и меет цену делени я 0,1 с, довери тель -
ный и нтервалбез учета случай ных ф акторов равен 0,05 с (з амери ть вре-
меннóй и нтервал0,04 стаки м при бором невоз мож но).
      Д овери тель ный и нтервалдля генеральной д исперсии, содерж ащ и й
параметр σ2 снадеж ность ю Р = 1 – α, вычи сляется следую щ и м образ ом:
                                      n −1                    n −1
                                  s2 2 < σ 2 < s2 2                    .
                                      χα / 2                 χ 1−α / 2
Здесь n — объем выборки , s 2 — выборочная ди сперси я. К ри ти чески е з на-
чени я распределени я χ2 определяю тся в стати сти чески х табли цах для
уровня з начи мости α и чи сластепеней свободы сdf = n – 1.
      Грани цы довери тель ных и нтервалов для генераль ного сред него
квад ратичного отклонения σ находят путем и з влечени я квадратного
корня и з з начени й довери тель ныхграни ц для генераль ной ди сперси и .
      Д овери тель ные и нтервалы для вероя тности вычи сляю тся по ф орму-
лам:
                                             p1 < p < p2 ,
где
                                                             w(1 − w)  z1−α / 2  
                                                                                   2
                          n             z12−α / 2
             p 2,1 =              w +            ± z1−α / 2               +      .
                     z1−α / 2 + n        2n                        n        2n  
Здесь n — объем выборки , w — относи тель ная частота, z1– α/2 — кванти ли
нормаль ного распределени я (находятся по стати сти чески м табли цам для
выбранного уровня з начи мости α).
        П рим ер 1.1. Получены рез уль таты и з мерени я времени реакци и (в ми лли секун-
дах) 20 тревож ных и спытуемыхнаслуховой раз драж и тель : 434, 436, 443, 445, 445, 446,
447, 447, 448, 451, 452, 453, 456, 458, 458, 462, 462, 468, 472, 477. Т ребуется оцени ть ха-
рактери сти ки централь ной тенденци и , рассеяни я, аси мметри и , э ксцесса и рассчи тать
95 %-е довери тельные и нтервалы для математи ческого ож и дани я и генераль ной ди с-
перси и . Т очность и з мерени я времени реакци и равна1 мс.
        Р еш ени е. Составляем расчетную табли цу (табл. 2), в контроль ную строку з апи -
сываем суммы столбцов­, ®, °, ± и ².

       Суммастолбца­ представляетсобой объем выборки : n = ∑ ni = 20. В ыборочное
                                                                     i
среднеенаходи тся путем делени я контроль ныхстрок столбцов® и ­:
                                  1           9060
                              x=
                                  n i
                                     ∑ xi ni = 20 = 453,0 мс.
       В ыборочная меди анаесть среднее ари ф мети ческоез начени й , находящ и хся в се-
реди невари аци онного ряда: х0,5 = ½ (х10 + х11) = ½ (451 + 452) = 451,5 мс.

Страницы