Теория статистического вывода. Харченко М.А. - 24 стр.

                                             24

чени й кри тери я Ф и шера, т.е. если выполняется услови е
                                    F ≤ Fα(df1, df2),
то нулевая ги потез ао равенстведвух генераль ных ди сперси й неотвергает-
ся. В э том случае обе выборки могут быть объеди нены в одну, и по двум
выборочным ди сперси ям мож но оцени ть генераль ную ди сперси ю σ 2 :
                        df ⋅ s 2 + df 2 ⋅ s 22 (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22
                  s2 = 1 1                    =                             ,
                            df1 + df 2                n1 + n2 − 2
которая з атем мож ет быть и споль з ована для построени я довери тель ных
и нтервалов:
                                   df                  df
                               s2 2 < σ 2 < s2 2               ,
                                  χα / 2             χ 1−α / 2
где df = N – 1 = n 1 + n2 – 1 — чи сло степеней свободы, χ 2 — кри ти чески е
з начени я распределени я Пи рсона «хи – квадрат» для уровней з начи мости
α/2 и 1 – α/2 находи тся по стати сти чески м табли цам.
       Е сли э мпи ри ческое з начени е кри тери я попадает в кри ти ческую об-
ласть кри тери я, т.е. если F > Fα(df 1, df2 ), нулевая ги потез аотвергается, при -
ни мается аль тернати вная.
        П рим ер 3.1. И сследовани е поз наватель ной акти вности 30 учащ и хся средней
школы и 20 учащ и хся гумани тарного ли цея показ ало, что еесредни й уровень равен 401
и 409, а«и справленное» среднее квадрати ческоеотклонени е — 71 и 82 соответственно
в обои х учебных з аведени ях. Предполагая, что уровень поз навательной акти вности в
популяци и и меет нормаль ный з акон распределени я, требуется провери ть ги потез у о
равенствегенераль ныхди сперси й поз наватель ной акти вности .
        Р еш ени е. Н улевой ги потез ой h 0 является предполож ени е об однородности (ра-
венстве) генераль ных ди сперси й поз навательной акти вности учащ и хся школы и ли цея:
σ ш2 = σ л2 = σ 2 . А льтернати вная ги потез а h1 состои т в том, что генераль ные совокупно-
сти , и з которыхвз яты выборки , и мею траз ли чныеди сперси и : σ ш2 ≠ σ л2 .
          Предполож ени ео нормаль ном з аконераспределени я поз наватель ной акти вности
в популяци и поз воляет и спольз овать кри тери й Ф и шера для проверки нулевой ги поте-
з ы. С э той цель ю необходи мо вычи сли ть стати сти ку кри тери я (э мпи ри ческоез начени е)
— отношени ебό льшей выборочной ди сперси и к мень шей . Предвари тель но рассчи таем
з начени я выборочных ди сперси й по «и справленным» средни м квадрати чески м откло-
нени ям:
                                                    2           2
                                            s′         71 
                    sш′ = с30 ⋅ s , ⇒ s =  ш
                                 2
                                 ш
                                         2
                                         ш
                                                    =         = 4961,3 ;
                                            с30        1,008 
                                                   2
                                               s′ 
                                                               2
                                                         82 
                     s ′л = с20 ⋅ s , ⇒ s =  л  = 
                                 2
                                 л
                                         2
                                         л                       = 6552 ,5 .
                                               с20     1,013 
      Бóль шую ди сперси ю обнаруж и ли учащ и еся гумани тарного ли цея: и менно еене-
обходи мо постави ть вчи сли тель э мпи ри ческого з начени я кри тери я:
                                        s 2 6552 ,5
                                    F= л    =         = 1,321 .
                                        s ш2 4961,3
      К ри ти чески е з начени я Fα(dfл, dfш) определяем по стати сти ческой табли це рас-
пределени я Ф и шера. Н а первое место стави м чи сло степеней свободы для выборки с